자주 하는 실수와 요약
자주 하는 실수
| 실수 | 나온 문제 | 바로잡는 법 |
|---|---|---|
| 가장 짧은 길 = 가장 빠른 길 | 1, 15 | 무엇을 최소화하는지 먼저 정한다 |
| 조건이 바뀌어도 가장 빠른 지점은 그대로라고 봄 | 1 | 바뀐 조건으로 기울기가 0인 곳을 다시 찾는다 |
| 안쪽 함수(30 − x)의 미분 −1을 빠뜨림 | 2 | 체인룰로 안쪽 함수의 미분을 곱한다 |
| 위치에너지 항에 곱한 Δt를 빠뜨림 | 3 | Δt를 0으로 보내 식이 말이 되는지 본다 |
| 점을 촘촘히 해도 같은 학습률을 씀 | 4 | 휨이 2/Δt에서 4/Δt까지 커진다. 학습률은 2/(가장 큰 휨)보다 작게 |
| 최고 높이가 같으면 작용도 같다고 봄 | 5 | 작용은 경로 전체를 받는다 |
| 정해 둔 모양 안의 최선을 전체의 최선으로 봄 | 5 | 최솟값을 찾은 범위(모양의 틀)를 먼저 확인한다 |
| 부분적분에서 적분 밖으로 나오는 항을 빠뜨림 | 6 | 양 끝 조건으로 그 항이 사라지는지, 끝을 풀면 어떤 조건이 생기는지 본다 |
| L = K + U | 7 | 떨어지는 공으로 가속 방향을 확인한다 |
| cos θ를 미분할 때 부호를 놓침 | 8 | 작은 θ에서 가속 방향이 제자리 쪽인지 확인한다 |
| 크게 흔들어도 sin θ ≈ θ를 씀 | 8 | 근사가 맞는 범위를 먼저 본다. 90°에서 놓으면 주기가 18% 길다 |
| 앞의 결과를 바뀐 조건에 그대로 씀(ω를 빠뜨림) | 9 | 반주기 π/ω와 T를 견준다. 넘으면 실제 경로는 최솟값이 아니다(정류) |
| 기울기가 작고 손실이 멈추면 최솟값이라고 봄 | 10 | 방향마다 두 번 미분한 값의 부호를 본다. 안장점 근처에서는 오래 머문다 |
| 서로 밀면 두 사람 속력이 같다고 봄 | 11 | 운동량의 합(처음 0)을 지킨다. 가벼운 쪽이 더 빠르다 |
| L이 t에 의존하지 않으면 L이 보존된다고 봄 | 12 | 보존되는 것은 E = q̇·∂L/∂q̇ − L |
| L에 +로 보이는 항을 U로 읽음 | 12 | L = K − U이므로 그 항은 −U |
| 한 걸음의 오차가 작으면 오래 굴려도 작다고 봄 | 13 | 오차가 에너지를 한쪽으로 쌓는지 본다. 대칭을 구조에 넣은 모델은 보존량이 새지 않는다 |
| 속도계를 자주 봤으니 어림이 정확하다고 봄 | 14 | 속력이 변하면 보는 간격만큼 오차가 남는다 |
| 같은 선 위면 작용도 같다고 봄 | 15 | 작용은 속도 스케줄에도 달려 있다 |
| 쌍마다 직선이면 평균 속도장도 직선이라고 봄 | 15 | 경로가 교차하면 평균 속도는 휘어진다 |
| 걸음이 적으면 속도가 일정해도 틀린다고 봄 | 16 | 속도가 변하지 않으면 오일러 방법은 한 걸음에 정확하다 |
요약
이 장에서 한 일을 정리해 보자. 경로를 점들의 벡터로 보고 "운동에너지 − 위치에너지"를 시간에 대해 더한 점수, 즉 작용을 만든 뒤 그 기울기를 0으로 두었더니 각 점에서 F = ma가 나왔다. 이것을 연속으로 쓴 것이 라그랑지안 L = K − U와 작용 𝒜 = ∫L dt이고, 경로를 통째로 흔들어 이 작용의 기울기를 0으로 둔 것이 오일러–라그랑주 방정식이다. 이 방식을 쓰면 진자처럼 제약이 있는 계도 좌표 하나만 골라 힘을 그리지 않고 풀 수 있다. 다만 이 원리가 요구하는 것은 최소가 아니라 정류이고, L에 대칭이 있으면 그 대칭마다 보존량이 하나씩 있다(뇌터). 끝으로 자유 입자의 작용을 가장 작게 하는 경로는 등속 직선이며, 최적 수송과 flow matching의 직선 경로가 바로 여기서 나온다.
막힌 곳
이제 우리는 라그랑지안 하나만 적으면 운동방정식과 보존량을 모두 얻을 수 있다. 하지만 아직 풀리지 않은 것이 있다. 에너지는 E = q̇·∂L/∂q̇ − L이라는 어색한 모양으로 나타났는데, 왜 하필 이 모양인지는 아직 모른다. 또 라그랑지안의 변수는 위치 q와 속도 q̇이고, 오일러–라그랑주 방정식은 가속도, 곧 위치를 두 번 미분한 양이 든 방정식이다. 그렇다면 "지금 상태를 알면 다음 순간이 정해진다"는 한 번 미분한 양만 든 방정식의 형태로 쓰려면, 그리고 상태들의 부피를 세려면, 속도 대신 무엇을 변수로 잡아야 할까?