확산 계수: 단위 시간에 퍼지는 넓이

열핵의 넓이는 σ² = 2Dt로 자라므로, 얼마나 빨리 퍼지는지는 D 하나에 달려 있다. 그렇다면 D는 무엇을 재는 양이고, 실제 물질에서는 얼마나 클까?

역사: 픽의 소금물

1855년 독일의 생리학자 아돌프 픽은 소금이 물속에서 퍼지는 현상을 푸리에의 열전도와 같은 방정식으로 나타냈다. 그는 학창 시절 푸리에의 수학에 빠져 수학을 공부하려다 의학으로 옮긴 사람이었고, 이 무렵 취리히 대학에서 해부학 조교로 일하며 물리학의 개념과 방법으로 생물의 몸을 연구하고 있었다. 몸속에서는 녹아 있는 물질이 세포막 같은 칸막이를 사이에 두고 오가므로, 그 움직임을 다스리는 법칙이 필요했다.

그는 앞서 그레이엄이 소금물의 확산을 잰 장치를 썼다. 세로로 세운 유리 원통 바닥에 소금 결정을 깔고 위에는 많은 물을 두어 이따금 새 물로 갈아 주면, 바닥은 늘 소금으로 가득 차 있고 꼭대기는 늘 거의 맑은 물이라 오래 두면 원통 안의 농도가 더는 변하지 않는 상태에 이른다. 픽은 저울 팔에 매단 작은 유리구를 여러 깊이에 담가 용액의 밀도를 재고, 그 밀도로 소금의 농도를 읽었다. 소금의 흐름이 농도 그래디언트(이 원통에서는 높이에 따라 농도가 변하는 비율)에 비례한다면 이 상태의 농도는 높이에 따라 곧게 줄어야 하는데, 원통에서 잰 농도가 그렇게 나왔다. 단면이 높이에 따라 넓어지는 깔때기에서는 곧은 선이 아닌 다른 꼴을 예측해 견주었다. 소금의 흐름이 농도 그래디언트에 비례한다는 이 법칙은 픽의 법칙이라 불린다. 온도 대신 농도를 넣었을 뿐 방정식은 같아서, 이 방정식은 열 방정식과 확산 방정식이라는 두 이름을 함께 갖게 되었다.

픽의 원통 실험을 다시 그린 모식도. 유리 원통 바닥에 소금 결정을 깔고 위의 물을 이따금 갈아 주면 원통 안의 농도가 변하지 않는 상태에 이른다. 저울 팔에 매단 유리구로 깊이마다 용액의 밀도를 재면, 농도는 바닥의 포화 농도에서 꼭대기의 0까지 높이에 따라 곧게 줄어든다(오른쪽). 치수와 유리구의 모양은 단순하게 그렸다.

아돌프 픽(1829–1901). 안톤 클람로트의 1897년 파스텔화. 출처: Wikimedia Commons, 퍼블릭 도메인

깊이마다 농도를 재려면 물을 조금씩 떠서 소금을 말려 무게를 달면 될 것 같은데, 픽은 왜 저울에 유리구를 매달았어요?

짐작이지만, 물을 떠내면 떠낸 깊이의 농도가 흐트러지잖아요. 오래 기다려 겨우 자리 잡은 원통을 건드리지 않고 재야 했을 거예요. 유리구가 받는 뜨는 힘은 그 깊이의 용액 밀도로 정해지니까, 저울 눈금에서 밀도를, 밀도에서 농도를 읽은 거예요.

농도 그래프 하나에 원통이 자리 잡기를 기다리고 깊이마다 저울질이라니요. 지금은 센서를 넣으면 몇 초마다 값이 찍히는데요.

더 큰 벽은 따로 있었어요. 소금이 왜 진한 데서 묽은 데로 가는지, 분자 하나하나가 어떻게 움직여서 그렇게 되는지는 픽이 답하지 못했어요. 액체 속에서 분자의 무작위 운동과 확산 계수를 식으로 이은 건 1905년 아인슈타인의 브라운 운동 논문이에요. 픽보다 50년 뒤예요.

그러면 픽은 이유는 모른 채 흐름이 농도 그래디언트에 비례한다는 규칙만 세운 거네요. 깔때기에서 다른 꼴을 미리 예측해 견준 것도 그래서였겠어요.

그래요. 규칙 하나로 서로 다른 두 모양을 미리 말할 수 있어야 시험이 되니까요. 대신 그 규칙에는 물질마다 다른 비례 상수 하나가 남았어요.

그 상수가 D라면, 커피에 넣은 설탕은 D가 얼마고 실제로 몇 분이면 얼마나 퍼져요?

커피 속 설탕과 쇠막대

σ²가 넓이이고 t가 시간이므로 D의 단위는 m²/s이다. 이 D를 확산 계수 (단위 시간에 퍼지는 넓이, diffusion coefficient)라 하며, 이웃 평균 격자에서는 a = τ = 1이므로 D = 1/4이다.

젓지 않은 커피 바닥에서 설탕이 녹아 퍼지는 것이 이 과정이다. 물속 설탕 분자의 확산 계수는 25 °C에서 약 5.2 × 10⁻¹⁰ m²/s여서 한 축 방향으로 1 mm 퍼지는 데는 16분쯤 걸리지만, 1 cm 퍼지려면 그 100배인 하루 남짓이 걸린다. 설탕을 넣고 젓는 것은 먼 거리를 확산에 맡기지 않고 물의 흐름으로 옮기기 위해서다. 한쪽 끝을 불에 대 일정한 온도로 두는 쇠막대도 같다. 쇠의 열확산 계수는 약 2.3 × 10⁻⁵ m²/s이고, 공기로 새는 열을 무시하면 온도가 끝의 절반만큼 오른 지점은 0.95√(Dt)로 나아간다. 0.95는 끝 온도를 고정한 긴 막대의 열 방정식 해에서 온도가 끝의 절반이 되는 자리를 계산하면 나오는 수다. 10 cm까지는 8분이지만 20 cm까지는 32분, 1 m까지는 반나절이 넘게 걸린다.

젓지 않은 커피 바닥의 설탕(D ≈ 5 × 10⁻¹⁰ m²/s). 한 축 방향으로 퍼진 폭 σ = √(2Dt)는 약 16분에 1 mm, 그 100배인 하루 남짓에 1 cm가 된다. 잔 바닥 4 cm를 실제 비율로 그렸다.

한쪽 끝을 불에 댄 쇠막대(열확산 계수 약 2.3 × 10⁻⁵ m²/s, 공기로 새는 열은 무시). 온도가 끝의 절반인 지점 0.95√(Dt)는 8분에 10 cm, 32분에 20 cm, 약 13시간에 1 m에 이른다.

문제 4. 젓지 않은 커피의 설탕

물속 설탕 분자의 확산 계수를 D = 5.2 × 10⁻¹⁰ m²/s로 두고, 젓지 않은 커피 바닥에서 설탕이 한 축 방향으로 퍼진 폭을 σ = √(2Dt)로 잰다. 1 mm 퍼지는 데는 16분쯤 걸린다. (가) 설탕을 넣고 5분 뒤에 마시면, 설탕은 바닥에서 몇 mm 위까지 퍼져 있는가? (나) 높이 8 cm인 잔 전체로 퍼지려면 며칠쯤 걸리는가? (다) 설탕을 저으면 왜 금방 고르게 달아지는가?

높이 8 cm 잔의 바닥에서 녹는 설탕. 오른쪽은 바닥을 확대한 것으로, 1 mm 퍼지는 데 16분쯤 걸린다 (sources/ch14/problems_figs.py)

16분에 1 mm니까 5분이면 5/16 mm, 0.31 mm요. 거의 바닥에만 있네요.

같은 셈법이면 1 cm는 몇 분 걸려요? 본문에서는 하루 남짓이라고 했죠.

160분이니까… 하루랑 안 맞네요. 거리가 시간에 비례하는 게 아니었어요. σ = √(2Dt)에 넣으면 √(2 × 5.2 × 10⁻¹⁰ × 300) = 5.6 × 10⁻⁴ m, 0.56 mm예요. 비례로 셈한 것의 거의 두 배요.

시간이 3분의 1쯤이면 거리는 √3분의 1쯤이니까, 짧게 볼수록 비례로 셈한 것보다 멀리 가 있는 거네.

(나)는요? 8 cm 퍼지는 시간을 σ = √(2Dt)에서 거꾸로 풀어 봐요.

t = σ²/(2D) = 0.0064 ÷ (1.04 × 10⁻⁹) = 6.2 × 10⁶초… 71일이에요.

커피 한 잔이 저절로 달아지려면 두 달이 넘게 걸린다고요?

처음 몇 분 동안은 생각보다 멀리 가고, 먼 거리는 한없이 느린 거예요. 격자에서 되풀이 횟수를 네 배로 늘려야 두 배 멀리 갔던 것과 같은 이야기죠. 그럼 거리가 시간의 제곱근으로만 느는 성질로 저었을 때를 설명해 볼까요?

저으면 설탕물이 물줄기에 끌려 늘어나면서 얇은 층들로 섞이잖아요. 층 두께가 0.1 mm라면 확산이 메울 거리가 0.1 mm뿐이니까 10초면 돼요.

그래요. 확산은 짧은 거리에서는 빠르고 긴 거리에서는 한없이 느려요. 젓기는 먼 거리를 흐름으로 옮겨 주고, 확산에는 짧은 거리만 남겨 두는 거예요.

과제 자료 전체를 혼자 처음부터 읽으면 한참 걸리는데, 조원끼리 나눠서 각자 몇 쪽씩만 읽으면 금방 끝나는 거랑 같네요. 저어서 거리를 잘게 나눠 주는 거니까요.