구면 조화: 구 위의 푸리에

자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수 바른 생각 나온 문제
컵에 담는 순서까지 세어 세 맛 두 스쿱을 9가지로 센다 순서를 따지지 않는 중복 조합이라 6가지다. x, y, z 의 2차 단항식도 6개다 문제 1
x² 처럼 2차 단항식이면 차수 2 의 구면 조화다 구 위에서는 x² + y² + z² = 1 이라 x² 에는 상수(차수 0)가 섞여 있다 문제 2
작은 원 평균은 구면 조화의 크기를 줄이기만 한다 원이 크면 곱해지는 수 Pₗ(cos α) 가 음수가 되어 부호가 뒤집힐 수 있다 문제 2
위도·경도 격자를 평평한 그림처럼 2차원 푸리에 변환하면 된다 북극 줄 1440점이 한 곳이고, 세로로 되풀이하면 북극 옆이 남극이 된다 문제 3
같은 방이니 거울 공도 무광 공처럼 계수 9개로 충분하다 무광 공은 차수마다 곱해지는 수가 높은 차수를 지웠다. 거울 공은 날카로운 가장자리가 그대로 남는다 문제 4
계수를 늘리면 늘 더 잘 맞는다 잰 방향이 6곳뿐이면 16개로 늘릴 때 오히려 세 배 나빠진다 문제 5, 6
방향별 색 학습은 빨리 하려고 낮은 차수부터 연다 덩어리를 비추는 방향이 한쪽에 몰리면 많은 계수를 한꺼번에 맞출 때 평균 색까지 틀어지기 때문이다 문제 6
성분 제곱 하나하나가 축을 돌려도 그대로다 그대로인 것은 제곱의 합(길이의 제곱)이다 문제 7
회전을 잘 고르면 차수 1 함수에 차수 2 성분이 생긴다 회전은 같은 차수 안에서만 섞는다 문제 8
차수별 세기가 같으면 하나를 돌린 것이 다른 하나다 3z² − 1 꼴과 x² − y² 꼴은 세기가 같지만 가장 큰 값이 달라 돌려서 겹칠 수 없다 문제 9

요약

flowchart LR
  A["구를 돌려도 같은 규칙<br/>작은 원 평균"] --> B["모양이 그대로인 함수<br/>구면 조화, 차수마다 2l+1개"]
  B --> C["구면 조화 전개<br/>연산은 차수마다 곱하기"]
  C --> D["낮은 차수 몇 개로 충분한 경우<br/>무광 공 9개"]
  B --> E["회전은 같은 차수 안에서만 섞는다<br/>차수별 세기는 그대로"]

막힌 곳