푸리에 급수: 주기 함수를 물결의 합으로

푸리에 계수: 내적으로 하나씩 구하기

1과 cos kt, sin kt가 서로 수직인 축이라는 것을 보았다. 그러면 사각파처럼 반 주기는 −1, 반 주기는 +1인 함수가 이 축들 위에서 어떤 좌표를 갖는지 구할 수 있을 것이다. 축이 끝없이 많으니 연립방정식을 풀어서는 끝이 나지 않는다. 축이 서로 수직이면, 칸 세 개짜리 신호 때처럼 축마다 내적 한 번으로 좌표 하나를 따로 구할 수 있을까?

역사: 곱의 넓이를 재는 기계

물결을 더하는 조수 예측기를 만든 톰슨은 거꾸로 된 일, 곧 기록된 물때 곡선에서 성분마다의 크기를 구하는 일에도 기계를 쓰고 싶었다. 그 일의 핵심은 기록 곡선과 cos(2πt/주기)의 곱을 한 주기 넘게 넓이로 재는 것이었다. 1876년 형 제임스 톰슨(James Thomson)이 원판 위를 구르는 공으로 넓이를 재는 적분기를 왕립학회에 내놓았고, 같은 해 톰슨은 「주어진 두 함수의 곱의 적분을 계산하는 기구에 관하여」라는 논문을 냈다. 1878년 왕립학회 회보에 실린 그의 조화 분석기는 이런 적분기 다섯 개를 이어, 종이 원통에 감긴 기록 곡선을 따라가는 동안 ∫ y cos dt와 ∫ y sin dt의 값을 쌓았다. 물결을 더하는 기계 옆에 곱의 넓이를 재는 기계가 생겼다.

모서리가 있는 함수까지 사인과 코사인의 합으로 쓸 수 있다는 주장은 1807년 푸리에(Joseph Fourier)가 열이 퍼지는 문제를 풀며 내놓았다. 이 주장은 곧바로 받아들여지지 않았고, 어떤 함수에서 맞는지를 두고 논쟁이 이어졌다.

사각파의 계수를 내적으로

사각파 f(t)가 다음처럼 적힌다고 해 보자.

f(t) = (a₀/2) + a₁ cos t + b₁ sin t + a₂ cos 2t + b₂ sin 2t + …

양쪽에 sin 3t를 곱하고 한 주기 위에서 넓이를 내면, 오른쪽의 항들 가운데 sin 3t와 수직이 아닌 것은 b₃ sin 3t 하나뿐이다. 나머지는 모두 0이 되고, b₃ sin 3t × sin 3t의 넓이는 b₃ × π다. 그러니

b₃ = (1/π) × (f와 sin 3t의 내적)

이고, 끝없이 많은 미지수 가운데 b₃ 하나만 남았다. 사각파는 0 < t < π에서 +1, −π < t < 0에서 −1이므로 넓이를 손으로 구할 수 있다. 0에서 π까지 sin 3t의 넓이는 2/3, −π에서 0까지 −sin 3t의 넓이도 2/3이라 합이 4/3이고, b₃ = 4/(3π) = 0.4244다. 같은 계산을 컴퓨터로 한 주기를 20만 칸으로 나눠 해 보면 아래와 같다.

코사인 계수는 모두 0이고, 사인 계수는 홀수 주파수에서만 4/(πk)다. 사각파를 원점 둘레로 뒤집으면(t를 −t로) 부호만 바뀌는데, 코사인은 뒤집어도 그대로이고 사인은 부호가 바뀌므로 코사인 계수가 0일 수밖에 없다. 짝수 주파수가 왜 하나도 없는지는 아래 문제 5에서 톱니파와 비교해 본다.

이렇게 주기 함수를 한 주기 위의 직교 기저 1, cos kt, sin kt로 적은 것을 푸리에 급수 (주기 함수를 물결의 합으로 펼치기 / Fourier series)라 한다. 계수는 축마다 내적 한 번에 축의 길이 제곱(π, 상수 축은 2π)으로 나눈 값이다.

주파수 K까지만 더한 것을 부분합이라 부르자. 사각파의 부분합이 원래와 얼마나 다른지를 제곱 오차 평균의 제곱근(RMS)으로 재면, K = 1에서 0.4352, 9에서 0.2010, 101에서 0.0630으로 준다. 축이 서로 수직이므로 세기도 축마다 따로 더해진다. 사각파의 제곱 평균은 1이고, 축 하나가 담은 세기는 b_k²/2다. 주파수 1 하나가 (4/π)²/2 = 0.8106, 9까지가 0.9596, 101까지가 0.9960을 담는다. 계수를 하나 더할 때 이미 구한 계수를 고칠 일이 없다는 것도 축이 수직인 덕분이다.

ML에서: 시계열의 계절 성분

메타가 공개한 시계열 예측 라이브러리 프로펫(Prophet, 테일러·레덤 「Forecasting at Scale」 2018)은 해마다 되풀이되는 계절 성분을 1년을 한 주기로 하는 푸리에 급수로 적는다. 공개된 코드의 기본값은 1년 주기에 주파수 10까지, 1주 주기에 주파수 3까지다. 주파수를 올리면 계절 모양을 더 날카롭게 따라가지만 노이즈까지 따라갈 위험이 커진다. 계수는 회귀로 맞추는데, 자료가 몇 년치를 고르게 덮으면 그 회귀가 내적 한 번씩으로 계수를 구하는 일과 같아진다. 「몇 년치를 고르게」라는 단서가 왜 붙는지는 아래 문제 6에서 본다.

문제 4. 카페 손님의 교대별 물결

카페 하루를 4교대로 나눠 손님 수를 셌더니 (12, 8, 4, 8) 이었고 날마다 같다. 칸 4 개짜리 축으로 1 = (1, 1, 1, 1), 코사인 = (1, 0, −1, 0), 사인 = (0, 1, 0, −1), 번갈이 = (1, −1, 1, −1) 을 쓴다. (가) 네 축이 서로 수직인지 확인하라. (나) 축마다 계수(내적 ÷ 축 길이의 제곱)를 구하라. (다) 넷째 교대가 12 명으로 바뀌면 계수는 어떻게 되는가?

(가)는 쌍마다 곱의 합을 보면 다 0이에요. (나)는 내적만 하면 되니까 1 축은 32, 코사인 8, 사인 0, 번갈이 0이요. 손님 = 32 + 8 × 코사인… 32명이 평균일 리가 없는데요.

축의 길이를 보세요. (1, 1, 1, 1)과 (1, 0, −1, 0)은 길이가 같은가요?

1 축은 자기 내적이 4, 코사인은 2예요. 나눠야 하네요. 1 축 계수 8, 코사인 4요. 손님 = 8 + 4 × 코사인이고, 확인하면 8 + 4 = 12, 8 + 0 = 8, 8 − 4 = 4, 8이에요. 맞아요.

사각파에서 계수를 구할 때 1/π를 곱한 것도 같은 거네. sin kt의 자기 내적이 π라서. 상수 축만 2π라서 a₀를 반으로 나눠 적는 거고.

(다)는 넷째만 바뀌었으니 계수 하나만 바뀌겠지?

넷째 칸이 0이 아닌 축이 몇 개인지 세어 볼래요?

넷째 칸이 1 축은 1, 코사인 축은 0, 사인 축은 −1, 번갈이 축은 −1… 세 개예요. 하나만 바뀌는 게 아니네요.

그럼 계수를 다시 구해 볼래요?

손님이 (12, 8, 4, 12)니까… 1 축 9, 코사인 4 그대로, 사인 −2, 번갈이 −1이에요.

칸 하나가 바뀌면 거기서 0이 아닌 축들의 계수가 모두 조금씩 바뀌는구나. 반대로 계수 하나를 바꾸면 모든 칸이 바뀌고.

알바 시간표 짤 때 평균 손님에 「점심 물결」만 얹으면 되는 줄 알았는데, 마감 교대 하나만 붐벼도 물결 셋이 다 움직이네요.

문제 5. 톱니파와, 옮긴 사각파

(가) 톱니파 f(t) = t/π (−π < t < π, 그 뒤로 되풀이)의 사인 계수 b₁, b₂, b₃ 를 내적으로 구하라. 코사인 계수는 왜 0 인가? (나) 사각파와 달리 짝수 주파수가 살아남는 것은 왜인가? (다) 사각파를 왼쪽으로 1/4 주기(π/2) 옮긴 파형의 계수는 어떻게 되는가? (위젯 2의 「문제 5 불러오기」와 「1/4 주기 옮긴 사각파」 단추로 확인해 보자.)

(가)는 t/π와 sin kt의 곱이니까 부분적분부터 해 볼게. ∫ (t/π) sin kt dt를 −π에서 π까지 하면 −(t/π)(cos kt)/k를 양 끝에서 계산한 것과 ∫ (cos kt)/(πk) dt가 나와.

뒤쪽 적분은 cos kt 를 적분한 거니까 한 주기에서 0이지?

응. 남은 건 양 끝에서 계산한 −(t/π)(cos kt)/k인데… cos kπ가 (−1)^k라서 2(−1)^(k+1)/k가 돼.

계수가 되려면 무엇이 남았죠?

π로 나눠야 해요. bₖ = 2(−1)^(k+1)/(πk)라서 b₁ = 0.6366, b₂ = −0.3183, b₃ = 0.2122예요. 코사인 계수는 t/π를 뒤집으면 부호가 바뀌니까 0이고요.

위젯에서 확인하니 똑같아요. (나)는… 톱니파는 그냥 그렇게 생겼으니까요?

사각파는 반 주기 밀면 어떻게 되죠? 톱니파도 밀어 보세요.

사각파를 π만큼 밀면 +1과 −1이 바뀌어서 정확히 부호만 뒤집혀요. 톱니파는… 밀어도 부호가 뒤집힌 모양이 안 나와요.

왜? 톱니파도 −1과 1 사이를 오가잖아.

뒤집힌 톱니파는 기울기가 −1/π 여야 하는데, 밀기만 해서는 기울기가 1/π 에서 바뀌지 않으니까.

그럼 sin 2t와 sin 3t를 π만큼 밀면 각각 어떻게 되죠?

sin 2t는 그대로고 sin 3t는 부호가 뒤집혀요. 반 주기 밀어 부호가 뒤집히는 함수에는 부호가 뒤집히는 물결, 곧 홀수 주파수만 들어갈 수 있어요. 톱니파는 그런 대칭이 없으니 짝수도 들어가는 거고요.

(다)는 옮겼으니 계수가 완전히 달라질 것 같아요. 그런데 위젯을 보니 사인 계수가 다 0이 되고 코사인 계수가 1.2732, 0, −0.4244, 0, 0.2546이에요. 크기는 그대로네요.

크기는 그대로이고 사인 축에서 코사인 축으로 옮겨 갔어요. 부호는 왜 번갈아 바뀔까요?

하나씩 넣어 볼게요. sin k(t + π/2)를 풀면 k = 1이면 cos t, k = 3이면 −cos 3t, k = 5면 cos 5t예요.

그래서 1.2732, −0.4244, 0.2546으로 부호가 번갈아 나왔구나.

주파수마다의 세기 aₖ² + bₖ²는요?

그대로예요. 옮기면 같은 주파수 안에서 사인 계수가 코사인 계수로 넘어가기만 해요.

회전 행렬로 좌표를 돌리면 성분은 바뀌어도 길이는 그대로인 것과 같아. 주파수마다 평면 하나씩 있고 그 안에서 돌린 거야.

문제 6. 기온 자료에서 연 주기 성분 뽑기

하루 기온 3 년치(1095 일)를 직접 만들었다. 참 모델은 12 − 10 cos(ω − 0.35) + 1.5 cos(2ω + 0.8)(ω = 2π × 날짜/365)이고, 표준편차 2.5 인 노이즈를 더했다(씨앗 1). (가) 평균과 주파수 3 까지의 계수를 내적(2 × 평균(기온 × cos kω) 등)으로 구한 값과 최소제곱 회귀로 구한 값을 비교하라. (나) 1.5 년치(547 일)만 쓰면 두 방법의 a₁, b₁ 이 어떻게 되는가? 참 값은 a₁ = −9.394, b₁ = −3.429 이다. (다) 왜 그렇게 되는지 특징의 내적 행렬로 설명하라.

(가)는 둘 다 돌려 봤어요. 평균 11.848, a₁ = −9.494, b₁ = −3.213, a₂ = 1.068, b₂ = −1.153이고, 두 방법의 차이가 4 × 10⁻¹⁵예요. 같은 거네요. 그러면 회귀를 굳이 할 필요가 없겠어요. 내적이 훨씬 빠르니까요.

(나)를 돌려 보고 다시 말해 볼래요?

1.5년치로 하면 최소제곱은 a₁ = −9.302, b₁ = −3.161로 참 값 근처인데, 내적은 a₁ = −9.557, b₁ = +1.720이에요. b₁은 부호까지 틀렸어요. a₂, b₃도 엉망이고요.

(다)는 1.5년치에서 [1, cos ω, sin ω]의 내적 행렬을 날 수로 나눠 볼게. 대각선은 1, 0.5, 0.5인데… 1과 sin ω 사이가 0.212야. 0이 아니야.

3년치면 0이었잖아. 왜 1.5년이면 안 돼?

1년 반은 sin ω를 한 번 반 되풀이하니까 반쪽 물결이 남아서 평균이 0이 안 돼.

그래요. 문제 1(깜빡이는 전등 둘)에서 3초만 보면 곱의 평균이 −1/3 로 나오던 것과 같은 이유예요. 축이 서로 수직이 아니면 내적 하나로 계수 하나를 구할 수 없어요. 연립방정식을 다 풀어야 하죠.

평균 기온이 12도인데, 그 일부가 sin ω 축으로 새어 들어가서 b₁을 끌어올린 거네요. 회귀는 축끼리 기울어진 것까지 셈에 넣으니 sin ω 축으로 새어 든 평균 기온을 바로잡고요. 그래서 라이브러리는 내적 대신 회귀로 맞추는구나. 자료가 정수 년을 덮을 거라는 보장이 없으니까요.

실험 보고서에서 한 달 반 데이터로 「월 주기」를 뽑았다가 이상한 값이 나왔던 게 이거였어요. 다음엔 최소제곱 회귀로 할게요.