푸리에 급수: 주기 함수를 물결의 합으로

자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수 바른 생각 나온 문제
두 신호의 곱의 평균이 0 이면 둘은 아무 상관이 없다 같은 때와 엇갈린 때가 반씩이라는 뜻이고, 한 주기를 다 볼 때만 성립한다. 3초만 보면 −1/3 이 된다 문제 1
주파수가 다르면 어느 구간에서든 내적이 0 이다 한 주기 위에서, 두 물결이 둘 다 정수 번 되풀이될 때만 0 이다. 반 주기에서는 4/3, cos 1.5t 와는 2.400 문제 2
특징을 더하면 이미 있던 가중치가 다시 맞춰진다 특징끼리 서로 수직이면 XᵀX 가 대각이라 가중치가 따로 정해지고, 더해도 바뀌지 않는다 문제 3
계수는 축과의 내적 그대로다 축 길이의 제곱으로 나눠야 한다. 상수 축은 2π, 코사인·사인은 π 라서 a₀ 를 반으로 적는다 문제 4
파형을 옮기면 계수가 완전히 달라진다 같은 주파수 안에서 사인 계수와 코사인 계수 사이로 크기가 넘어갈 뿐, 주파수마다의 세기는 그대로다 문제 5
내적으로 구한 계수는 회귀로 구한 계수와 늘 같다 자료가 정수 주기를 고르게 덮을 때만 같다. 1.5 년치에서는 b₁ 의 부호까지 틀린다 문제 6
깁스 현상의 9% 는 함숫값의 9% 다 끊긴 곳에서 뛴 높이의 0.0895 다. 20 °C → 26 °C 면 0.537 °C 문제 7
항을 늘리면 넘침이 줄어든다 높이는 그대로이고 폭만 좁아진다. 제곱 오차는 0 으로 가도 가장 큰 차이는 줄지 않는다 문제 7, 9
모서리(꺾인 곳)에서도 9% 넘친다 깁스 현상은 값이 끊긴 곳에서만 생긴다. 삼각파는 넘치지 않고 1/k² 로 빨리 맞는다 문제 8
높은 주파수를 0 으로 채워 키우는 것이 가장 정확한 확대다 계단 신호에는 높은 주파수가 끝없이 있어, 그렇게 키우면 테두리가 넘친다 문제 9
테일러 차수를 올리면 더 멀리까지 맞는다 수렴 반경 안에서만 그렇다. g 는 실수 위에서 매끄러워도 t
1/k 로 주는 계수도 몇십 개면 충분하다 제곱 오차가 1/√K 로만 줄어, RMS 0.01 에 주파수 4053 까지 든다 문제 11
로그-로그 기울기가 가파르면 큰 거듭제곱으로 주는 것이다 기울기가 범위에 따라 계속 가팔라지면 거듭제곱보다 빠른 e^(−ρk) 꼴이다 문제 12

요약

flowchart LR
  A["한 주기 위의 내적<br/>cos kt, sin kt 는 서로 수직"] --> B["푸리에 급수<br/>계수 = 내적 ÷ π"]
  B --> C["끊긴 곳<br/>9% 넘침이 남는다 (깁스)"]
  B --> D["매끄러울수록<br/>계수가 빨리 준다"]
  D --> E["테일러는 한 점 근처<br/>푸리에는 한 주기 전체"]

막힌 곳