안에서만 보고도 휘어짐을 안다

곡률 재는 실험: 곡면 밖으로 나가지 않고 하는 측정

공식은 계량을 아는 사람의 도구다. 계량을 모르는 개미(곡면 밖을 볼 수 없는 관찰자)가 자와 각도기만 들고 곡률을 알아낼 수는 없을까? "휘어짐을 재려면 바깥에 곧은 무언가가 있어야 하지 않나?"라는 물음에, 놀라운 정리는 필요 없다고 답한다. 실제로 곡면 위의 개미가 바깥을 보지 않고 할 수 있는 실험이 적어도 넷 있다.

1. 평행이동의 어긋남. 화살표를 곡면을 따라 돌리지 않고 옮기는 것(평행이동)을 닫힌 고리를 따라 하고 돌아오면, 휘어진 곳에서는 화살표가 돌아가 있다. 그 회전각은 고리가 감싼 곡률의 총량 $\Delta\theta = \iint K\,dA$다.
2. 삼각형 내각의 합. 측지선 셋으로 삼각형을 그리면 내각의 합이 $\pi$에서 벗어나는 만큼이 그 안의 곡률이다. 아래 따라 계산해 보기 2가 이 방법이다.
3. 원 둘레와 넓이의 결손. 한 점에서 측지 거리 $\rho$인 점들을 이은 원을 줄자로 잰다.
4. 측지선 편차. 나란히 출발한 두 측지선이 벌어지거나 좁혀지는 정도를 잰다.

역사: 세 봉우리를 잇는 삼각형

측지선 삼각형을 땅 위에서 실제로 잰 사람이 있다. 하노버 왕국의 측량을 맡은 가우스는 그 측량에서 가장 큰 삼각형인 브로켄산, 호에하겐(괴팅겐 근처), 인젤스베르크산의 세 꼭대기를 잇는 삼각형의 세 각을 쟀다. 변의 길이는 약 69 km, 85 km, 107 km다. 삼각형 식 $\textcolor{#007a52}{\alpha} + \textcolor{#007a52}{\beta} + \textcolor{#007a52}{\gamma} = \pi + \iint \textcolor{#b8860b}{K}\, \textcolor{#f320e5}{dA}$도 가우스가 1827년 논문에서 보인 것인데, 같은 논문에서 그는 이 측량 삼각형의 내각 합이 180°를 넘는 초과분을 14.85초로 적었다(1초는 1도의 3600분의 1이다). 이 초과분은 지구 겉면이 둥글어서 생기고, 논문에서 이 삼각형은 휜 곡면 위 삼각형을 계산하는 규칙이 실제 측량에서 얼마나 잘 맞는지 보여 주는 예로 쓰였다.

이 측정에는 널리 퍼진 이야기가 붙어 있다. 가우스가 이 삼각형으로 지구 겉면이 아니라 우리가 사는 공간 자체가 휘었는지를 시험했다는 것이다. 이야기의 출처는 가우스의 전기 작가 자르토리우스 폰 발터스하우젠의 기록인데, 1972년 과학사학자 아서 밀러가 과학사 학술지 『아이시스(Isis)』에서 이것을 「신화」라고 반박한 뒤로 역사가들 사이에서 지금도 의견이 갈린다. 가우스 자신이 그런 뜻을 밝힌 논문은 없다.

세 각을 더해서 180°와 비교하기만 하면 되니까 쉬운 측정 같은데요. 초과분 14.85초가 나왔으니 지구가 둥글다는 게 확인된 거죠?

14.85초가 얼마나 작은 각인지부터 볼까요? 1도의 몇분의 일이에요?

음, 1도가 3600초니까… 240분의 1쯤이요. 각도기 눈금 사이에도 못 들어가겠네요.

그래서 세 각 하나하나를 그보다 작은 오차로 재야 했어요. 같은 각을 여러 번 재고, 서로 어긋난 측정값을 하나로 맞추는 데는 가우스가 다듬은 최소제곱법을 썼어요.

그런데 초과분을 재도, 14.85초가 맞는 값인지 비교할 기준이 있어야 하잖아요. 지구 반지름과 삼각형 넓이로 미리 셈한 값 같은 거요.

휜 곡면 위 삼각형의 각을 넓이와 곡률로 셈하는 그 규칙이 바로 같은 1827년 논문에서 나왔어요. 재는 기술과 비교할 이론이 함께 만들어지던 때예요.

각을 재는 일이 이렇게 까다롭다면, 각 말고 길이만 재서 곡률을 알아낼 수도 있을까요? 원 둘레 같은 거요.

원 둘레와 나란한 측지선

네 번째 실험을 숫자로 먼저 보자. 적도 위에서 1 km 떨어진 두 점에서 나란히 북쪽으로 출발한 두 경도선은 둘 다 측지선이다. 평면이라면 1000 km를 가도 간격이 1 km 그대로지만, 반지름 6,371 km인 지구에서는 1000 km를 간 뒤 간격이 약 988 m, 12 m쯤 좁아져 있다. 개미는 두 줄 사이를 재기만 하면 된다. 세 번째와 네 번째 실험을 식으로 쓰면 다음과 같다.

평평하면 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$이라 둘레는 정확히 $2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}$이고, 두 측지선의 간격은 일정하게 벌어지거나 유지된다. 반지름 $\textcolor{#0561ff}{r}$인 구면이면 $\textcolor{#b8860b}{K} = 1/\textcolor{#0561ff}{r}^2$이라 적도에서 나란히 북쪽으로 출발한 두 경도선의 간격은 $\textcolor{#e8710a}{\xi}(\textcolor{#6314ff}{s}) = \textcolor{#e8710a}{\xi}_0\cos(\textcolor{#6314ff}{s}/\textcolor{#0561ff}{r})$로 줄어들어, $\textcolor{#6314ff}{s} = \pi \textcolor{#0561ff}{r}/2$인 북극에서 만난다. 앞에서 본 1000 km 뒤 간격이 12 m 좁아지는 결과가 이 간격 식 $\textcolor{#e8710a}{\xi}(\textcolor{#6314ff}{s}) = \textcolor{#e8710a}{\xi}_0\cos(\textcolor{#6314ff}{s}/\textcolor{#0561ff}{r})$에서 나온다.

물리학에서 이 네 번째 방법으로 재는 것이 조석력, 곧 가까이 있는 두 물체를 중력이 서로 다르게 끌어 벌리거나 좁히는 효과다.

네 방법 어디에도 "바깥에서 내려다보기"는 없다. 그래서 일반상대성이론이 "시공간이 휘었다"고 말할 때의 곡률은 이렇게 안에서 재는 내재적 곡률이고, 우주를 담는 더 큰 공간은 이론에 등장하지도 않고 필요하지도 않다.

곡면 전체로 더하면: 가우스-보네 정리

둘째 실험의 삼각형 식은, 닫힌 곡면을 삼각형으로 빈틈없이 덮고 삼각형마다의 식을 모두 더하면 곡면 전체로 넓힐 수 있다. 그 결과가 가우스-보네 정리다.

먼저 닫힌 상자로 세어 보자. 정육면체는 꼭짓점 8, 모서리 12, 면 6이라 $8 - 12 + 6 = 2$이고, 사면체는 $4 - 6 + 4 = 2$이니, 모양은 달라도 구멍 없는 닫힌 곡면이면 꼭짓점 − 모서리 + 면의 값은 2로 같다. 이 수를 오일러 특성수 $\textcolor{#964079}{\chi}$(카이)라 부른다.

곡률도 세어 볼 수 있다. 정육면체의 면과 모서리는 종이처럼 평평하게 펼칠 수 있으니 곡률이 0이고, 곡률은 모두 꼭짓점에 모여 있다. 한 꼭짓점에는 정사각형 세 개가 모여 각이 270°라, 한 바퀴 360°에 90°($\pi/2$)가 모자란다. 이 모자란 각이 그 꼭짓점에 모인 곡률이고, 여덟 꼭짓점을 더하면 $8 \times \pi/2 = 4\pi$다. 사면체는 꼭짓점마다 정삼각형 세 개가 모여 180°라 $\pi$가 모자라고, 넷을 더하면 역시 $4\pi$다. 반지름 $\textcolor{#0561ff}{r}$인 구면도 $\textcolor{#b8860b}{K} = 1/\textcolor{#0561ff}{r}^2$에 넓이 $4\pi \textcolor{#0561ff}{r}^2$를 곱하면 $4\pi$이니, 셋 모두 $4\pi = 2\pi \times 2$다.

다면체의 모자란 각을 모두 더하면 720°, 곧 $4\pi$가 된다는 것은 데카르트가 1630년 무렵 다면체에 관한 원고에 적어 두었다. 그 원고는 그가 죽은 뒤 파리로 옮기던 배가 센강에서 난파해 사흘 동안 물에 잠겼고, 1676년 라이프니츠가 베낀 사본만 남았는데, 그 사본마저 잊혔다가 1860년 무렵 하노버에서 다시 나왔다. 닫힌 곡면이면 매끄럽든 모가 났든 언제나 이렇게 된다.

구면이면 $\textcolor{#964079}{\chi} = 2$, 토러스이면 $\textcolor{#964079}{\chi} = 0$이다. $\textcolor{#964079}{\chi}$는 곡면을 찢거나 붙이지 않는 한 아무리 구기고 늘여도 바뀌지 않는 위상 불변량이다. 위상(topology)은 무엇이 무엇 가까이 이어져 있는지를 말하는 성질이다. 국소적 기하(한 점 바로 근처에서 잰 곡률)를 모두 합하면 전역적 위상(오일러 특성수)이 튀어나온다. 가우스-보네 정리는 국소 기하와 전역 위상을 잇는, 미분기하학에서 가장 아름다운 다리 중 하나다.

곁글 · 바깥에 나가 볼 수 없으면, 안에서 잰 것만으로 알아낸다

무엇의 모양이나 자리를 알고 싶을 때 가장 쉬운 길은 바깥에서 내려다보는 것이지만, 바깥으로 나갈 수 없는 처지도 있다. 그럴 때는 바깥을 아쉬워하지 않고, 안에서 잴 수 있는 것을 끝까지 짜내 답을 만든다.

1958년 8월 1일 미국 잠수함 노틸러스호는 북극 얼음 밑으로 들어가, 한 번도 물 위로 떠오르지 않은 채 8월 3일 북극점을 지났다. 얼음 밑에서는 별을 볼 수 없고, 북위 85°를 넘으면 자기 나침반도 보통의 자이로 나침반도 믿을 수 없게 된다. 노틸러스호가 길을 잃지 않은 것은 배 안의 가속도계와 자이로스코프로 잰 움직임을 쉬지 않고 쌓아 자기 자리를 계산하는 관성 항법 장치를 실은 덕분이었다. 순항 미사일에 쓰던 장치를 배에 맞게 고친 것이었고, 높은 위도에서도 쓸 수 있게 따로 만든 자이로 나침반도 함께 실었다. 노틸러스호는 96시간 동안 약 2,940 km를 얼음 밑으로 간 뒤 그린란드 북동쪽에서 떠올랐다.

우주는 더 극단적이어서 나가서 내려다볼 바깥이 아예 없지만, 그래도 우주 공간이 휘었는지는 물을 수 있다. 빅뱅 뒤 약 30만 년에 풀려난 빛(우주배경복사)에는 뜨겁고 차가운 얼룩이 남아 있는데, 그 얼룩의 실제 크기는 물리 법칙으로 계산되고 우리와의 거리도 알려져 있다. 공간이 평평하면 얼룩이 하늘에서 1도쯤으로 보이고, 공처럼 휘었으면 더 크게, 말안장처럼 휘었으면 더 작게 보인다. 우주 크기의 삼각형 하나의 각을 재는 것과 같다. 1998년 남극 하늘에 풍선 망원경 부메랑(BOOMERanG)을 띄운 연구진은 그 관측으로 2000년 『네이처』에 「평평한 우주」라는 제목의 논문을 냈다.

곡면 위 개미의 네 실험도 노틸러스호나 우주배경복사 관측과 같은 처지다. 개미는 바깥을 볼 수 없는 처지를 탓하지 않고, 자와 각도기로 잰 것에서 곡률을 꺼낸다.

문제 8: 서울, 부산, 광주를 잇는 삼각형

확인 지구를 반지름 6,371 km인 구로 보자. 서울, 부산, 광주의 시청을 측지선으로 이은 삼각형의 넓이는 약 27,000 km²다. 이 삼각형의 내각의 합은 180°보다 얼마나 큰가? 가우스가 잰 세 봉우리 삼각형(넓이 약 2,900 km², 초과 약 15초)과 견주어 보라.

같이 풀기 세션 8

따라 계산해 보기 2의 식대로 곡률 곱하기 넓이니까 $27000/6371^2 \approx 0.00067$이에요. 0.00067도 넘는 거면 측량 장비로는 잡히지도 않겠네요.

삼각형 식의 왼쪽, 내각의 합은 어떤 단위로 적혀 있었죠?

라디안이요… 0.00067 라디안이니까 180/π를 곱하면 0.038도, 초로 바꾸면 약 137초, 2분 남짓이에요. 도로 읽어서 60배 가까이 작게 본 거예요.

가우스의 삼각형이 15초였으니까 9배쯤이야. 넓이도 27,000 대 2,900이라 9배쯤이고. 곡률이 어디서나 같으니 초과각이 넓이에 그대로 비례하네.

2분이면 가우스 시절 측량 기구로도 충분히 잡히는 크기예요. 한반도 남쪽만 한 삼각형만 그려도 지구가 둥글다는 게 각도에 나타나는 거죠.

미적분 시간에 삼각함수 극한을 라디안으로만 해야 한다고 한 이유를 여기서 또 보네. 각도가 넓이랑 곧바로 같아지는 건 라디안일 때뿐이야.

문제 9: 축구공의 모자란 각

확인 축구공은 정오각형 12개와 정육각형 20개로 이루어지고, 꼭짓점마다 오각형 하나와 육각형 둘이 모인다(정오각형의 한 내각은 108°, 정육각형은 120°). (가) 꼭짓점 하나에서 한 바퀴 360°에 모자란 각은 얼마인가? (나) 꼭짓점은 모두 몇 개인가? (다) 모자란 각을 모두 더하면 얼마인가?

같이 풀기 세션 9

(가)는 $108 + 120 + 120 = 348$이니까 12°요. (나)는 오각형 꼭짓점 $12 \times 5 = 60$에 육각형 꼭짓점 $20 \times 6 = 120$, 합해서 180개예요. 그러면 (다)는 $180 \times 12 = 2160$°, $12\pi$네요. 정육면체랑 사면체는 $4\pi$였는데 축구공은 세 배예요.

공 모양은 구멍 없는 닫힌 곡면인데, 답만 세 배로 튀었네요. 꼭짓점 하나에 면이 몇 개 모였었죠?

셋이요… 면마다 꼭짓점을 셌으니 한 꼭짓점을 세 번씩 센 거예요. $180 / 3 = 60$개고, $60 \times 12 = 720$°, $4\pi$예요. 정육면체랑 같아요.

모서리도 같은 식으로 세면 오각형 변 60에 육각형 변 120을 두 면이 나눠 가지니 90개야. $60 - 90 + 32 = 2$, 오일러 특성수도 2고.

조별 과제에서 팀원마다 자기가 한 일을 적어 냈더니 합이 200%가 된 적이 있어요. 같이 한 일을 다들 자기가 한 일로 셌던 거죠.

문제 10: 줄자 하나로 지구의 곡률 재기

킬러 반지름 $\textcolor{#0561ff}{R} = 6371\,\text{km}$인 지구 위의 한 점에서, 지표면을 따라 $\textcolor{#ff4314}{\rho} = 100\,\text{km}$ 떨어진 점들이 이루는 원의 둘레를 잰다. (1) 이 둘레는 $2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}$보다 얼마나 짧은가? (2) 이번에는 지구 반지름을 모르는 사람이 이 둘레가 $2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}$보다 짧은 양만 쟀다고 하자. 그 짧은 양에서 가우스 곡률과 지구 반지름을 거꾸로 구하라. (3) 이 방법은 곡률이 점마다 다른 곡면에서도 쓸 수 있는가?

같이 풀기 세션 10

파이썬으로 $2\pi \textcolor{#0561ff}{R}\sin(\textcolor{#ff4314}{\rho}/\textcolor{#0561ff}{R})$을 계산했어요. $2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho} = 628.3185\,\text{km}$에서 약 $0.0258\,\text{km}$, 그러니까 26미터쯤 짧아요. 둘레 628킬로미터에서 26미터면 오차 수준이니까 사실상 평면이고, $\textcolor{#b8860b}{K} \approx 0$이라고 봐도 되지 않을까요?

26미터가 작은 건 맞아요. 그런데 $\textcolor{#ff4314}{\rho}$를 두 배로 늘리면 둘레가 짧아지는 양은 몇 배가 될까요?

돌려 볼게요… $\textcolor{#ff4314}{\rho} = 200\,\text{km}$면 약 $0.2064\,\text{km}$, 여덟 배예요. $\textcolor{#ff4314}{\rho}^3$으로 크네요. 그러면 작은 건 $\textcolor{#ff4314}{\rho}$가 작아서 그런 거지 곡률이 없어서가 아니네요.

$\textcolor{#ff4314}{\rho}^3$이 어디서 나오는지는 사인을 전개해 보면 보일 것 같아. $\sin x = x - x^3/6 + \cdots$잖아.

그걸 둘레 식에 넣으면 $2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}$에서 무엇이 빠지죠?

$2\pi \textcolor{#0561ff}{R}\sin(\textcolor{#ff4314}{\rho}/\textcolor{#0561ff}{R}) = 2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho} - \dfrac{\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}^3}{3\textcolor{#0561ff}{R}^2} + \cdots$이에요. 빠지는 첫 항이 $\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}^3/(3\textcolor{#0561ff}{R}^2)$이고요.

$1/\textcolor{#0561ff}{R}^2$은 구면에서 무엇이었어요?

가우스 곡률이요. 그럼 차이의 첫 항이 $\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}^3 \textcolor{#b8860b}{K}/3$이니까, 거꾸로 $\textcolor{#b8860b}{K}$를 꺼낼 수 있어요.

$$\textcolor{#b8860b}{K} = \lim_{\rho \to 0}\ \frac{3\,\big(2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho} - \textcolor{#6b672e}{C}(\textcolor{#ff4314}{\rho})\big)}{\pi \textcolor{#ff4314}{\rho}^3}$$

$$\begin{array}{ll} \textcolor{#b8860b}{K} & \text{원의 중심에서의 가우스 곡률} \\ \textcolor{#6b672e}{C}(\textcolor{#ff4314}{\rho}) & \text{곡면을 따라 거리 } \textcolor{#ff4314}{\rho} \text{ 인 점들이 이루는 원의 둘레} \\ \textcolor{#ff4314}{\rho} & \text{원의 반지름 (곡면 위에서 잰 거리)} \end{array}$$

제 숫자 $0.0258$을 넣으면 $3 \times 0.0258 / (\pi \times 10^6) \approx 2.46 \times 10^{-8}\,\text{km}^{-2}$, 그러니까 $1/6371^2$이 나와요! 반지름으로 되돌리면 6371 km예요. 26미터짜리 차이에 지구 반지름이 다 들어 있었네요.

학습 곡선에서 loss가 조금밖에 안 줄어서 “안 배우네” 했다가, 조교님이 로그 스케일로 다시 그려 보라고 하셨던 거랑 같아요. 작은 차이를 무시하지 말고 어떤 속도로 크는지 봐야 하는 거죠.

그런데 (3)번은 안 될 것 같아. 이건 구처럼 $\textcolor{#b8860b}{K}$가 어디서나 같을 때 둘레 공식을 알아서 되는 거잖아. $\textcolor{#b8860b}{K}$가 점마다 다르면 원이 지나는 곳마다 곡률이 달라서 이 $\textcolor{#b8860b}{K}$ 공식이 성립하지 않을 거야.

식에 $\textcolor{#ff4314}{\rho} \to 0$ 극한이 붙어 있는 걸 보세요. 원을 한없이 줄이면 원이 지나는 곳은 어디가 되죠?

전부 중심 근처로 모여요. 곡률이 점마다 달라도 매끄럽게 변하니까, 원이 충분히 작으면 원 안의 곡률은 중심의 곡률과 거의 같아요. 그러면 극한값은 중심에서의 $\textcolor{#b8860b}{K}$가 되겠네요. 둘레로 쓴 이 극한 공식은 구 전용이 아니라, 곡률을 “그 점에서” 재는 식이었어요.

그래요. 둘레로 가우스 곡률을 구하는 이 극한 공식은 1848년 베르트랑, 디게, 퓌죄가 「가우스의 한 정리의 증명」이라는 논문에서 증명한 것으로, 가우스 곡률을 곡면 위의 줄자만으로 정의하는 방법이에요. 이 장의 제목 "안에서만 보고도 휘어짐을 안다"가 문자 그대로 계산이 된 거죠.

미적분 시간에 미분계수를 "구간을 한없이 줄인 평균 변화율"로 배운 것과 같은 구조네요. 넓은 원의 둘레가 모자란 정도는 원 안 곡률의 평균 같은 거고, 극한을 취하면 그 점의 곡률이 되는 거예요.