측지선 방정식: 좌표로 검사하는 직진

원기둥은 펴서 평면으로 만들 수 있었기 때문에 측지선인지 아닌지를 눈으로 가릴 수 있었다. 구면처럼 펼 수 없는 곡면에서는, 곡선이 곡면 위에서 직진하고 있는지를 좌표 숫자만으로 검사할 방법이 필요하다.

좌표로 쓴 “가속도 0”

먼저 평면에서 해 보자. 직선 $\textcolor{#1b9e77}{x} = 1$ 위를 속력 1로 걸으면(시각 $\textcolor{#6a7a00}{t}$ 에 위치 $(1, \textcolor{#6a7a00}{t})$ ) 누가 봐도 직진이다. 그런데 같은 걸음을 극좌표 $(\textcolor{#0e9aa7}{r}, \textcolor{#0e9aa7}{\theta})$ 로 읽으면 반지름 좌표는 $\textcolor{#0e9aa7}{r}(\textcolor{#6a7a00}{t}) = \sqrt{1 + \textcolor{#6a7a00}{t}^2}$ 이고, 이것을 두 번 미분하면 $\textcolor{#6a7a00}{t} = 0$ 에서 $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{r}} = 1$ 이다. 좌표 숫자만 보면 가속하는 것처럼 보인다.

평면의 직선 위를 속력 1로 걷는다(왼쪽, 회색은 극좌표 격자). 같은 걸음을 반지름 좌표 로 읽으면 이 휘어 올라가는 그래프가 되어(오른쪽), 숫자만 보면 가속하는 것처럼 보인다 — 평면의 직선 $x = 1$ 위를 속력 1로 걷는다(왼쪽, 회색은 극좌표 격자). 같은 걸음을 반지름 좌표 $r$ 로 읽으면 $r(t) = \sqrt{1 + t^2}$ 이 휘어 올라가는 그래프가 되어(오른쪽), 숫자만 보면 가속하는 것처럼 보인다

이 겉보기 가속도는 좌표 격자 탓이다. 극좌표 격자는 각도를 따라가면 방향이 함께 돌아가므로, 크리스토펠 기호(좌표 격자가 휘는 만큼을 적은 보정값) $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^r_{\theta\theta} = -\textcolor{#0e9aa7}{r}$ 가 있다. 보정 항 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^r_{\theta\theta}\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}}^2 = -\textcolor{#0e9aa7}{r}\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}}^2$ 를 더해 보자.

시각	좌표 가속도	보정 항	합
0	1	−1	0
1	0.354	−0.354	0

어느 시각에서나 합이 0이므로, 곧게 걷는 걸음은 "좌표 가속도 + 격자 보정 = 0"을 만족한다. 이 관계를 곡면 위에서, 모든 좌표 성분에 대해 쓴 것이 접선벡터의 공변미분(좌표축이 점마다 돌아가서 생기는 성분 변화를 뺀 미분 $\nabla$ )이 0이라는 조건이고, 다음 방정식이 된다.

\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^k + \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^k_{ij}\, \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^i\, \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^j = 0

\begin{array}{ll} \textcolor{#0e9aa7}{\gamma}^k(\textcolor{#6a7a00}{t}) & \text{곡선의 } k \text{ 번째 좌표 성분} \\ \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^i,\ \ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^k & \text{좌표 속도, 좌표 가속도 (} \textcolor{#6a7a00}{t} \text{ 로 한 번, 두 번 미분)} \\ \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^k_{ij} & \text{크리스토펠 기호} \\ i, j, k & \text{좌표 번호, 위아래로 같은 첨자는 모두 더한다} \end{array}

이 방정식을 한 항씩 읽어 보자. $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^k$ 는 좌표를 숫자로만 보고 잰 가속도이고, $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^k_{ij}\, \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^i\, \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^j$ 는 좌표 격자가 휘고 비틀리는 탓에 생기는 "겉보기 가속도"다. 둘의 합이 0이라는 것은, 좌표로 본 가속도가 격자 탓에 생기는 겉보기 가속도를 정확히 상쇄해서 곡면 위에서는 조금도 방향을 틀지 않는다는 뜻이다.

이 방정식은 두 번 미분한 양이 든 상미분방정식이므로, 초기 위치 $\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}(0) = p$ 와 초기 속도 $\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}(0) = \textcolor{#1f77b4}{v}$ 가 주어지면 해가 유일하게 결정된다. 평면에서 한 점과 기울기가 직선을 유일하게 결정하는 것과 똑같이, 한 점에서 한 방향으로 "직진"하면 경로는 하나뿐이다.

앞에서 세운 방정식 $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^k + \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^k_{ij}\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^i\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^j = 0$ 을 측지선 방정식(관성의 방정식, Geodesic Equation)이라 부른다. 크리스토펠 기호 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^k_{ij}$ 가 좌표 격자가 휘고 비틀리는 정도를 담으며, 이 항이 0인 직교좌표(곧은 $x, y$ 좌표)에서는 직선의 방정식 $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^k = 0$ 으로 돌아간다.

따라 계산해 보기: 적도는 측지선이고 위도선은 아니다

반지름 1인 구면을 구면 좌표 $(\textcolor{#1b9e77}{\theta}, \textcolor{#1b9e77}{\phi})$ 로 쓰면 계량(점마다 거리를 재는 눈금)은 $\textcolor{#d62728}{ds}^2 = d\textcolor{#1b9e77}{\theta}^2 + \sin^2\textcolor{#1b9e77}{\theta}\, d\textcolor{#1b9e77}{\phi}^2$ 이고, 크리스토펠 기호 공식으로 계산한 값 중 0이 아닌 것은 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\theta_{\phi\phi} = -\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta}$ , $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\theta\phi} = \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\phi\theta} = \cot\textcolor{#1b9e77}{\theta}$ 뿐이다. 곡선을 $(\textcolor{#0e9aa7}{\theta}(\textcolor{#6314ff}{s}), \textcolor{#0e9aa7}{\phi}(\textcolor{#6314ff}{s}))$ 로 쓰면 측지선 방정식 두 개는 다음과 같다.

\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}} \underbrace{-\,\sin\textcolor{#0e9aa7}{\theta}\cos\textcolor{#0e9aa7}{\theta}\; \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}}^2}_{\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\theta_{\phi\phi}\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}}\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}}} = 0, \qquad \ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}} + \underbrace{2\cot\textcolor{#0e9aa7}{\theta}\; \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}}\, \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}}}_{2\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\theta\phi}\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}}\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}}} = 0

\begin{array}{ll} \textcolor{#0e9aa7}{\theta}(\textcolor{#6314ff}{s}), \textcolor{#0e9aa7}{\phi}(\textcolor{#6314ff}{s}) & \text{곡선 } \textcolor{#0e9aa7}{\gamma} \text{ 의 좌표 성분: 북극에서 잰 각도, 경도} \\ \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\theta_{\phi\phi}, \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\theta\phi} & \text{구면의 크리스토펠 기호} \\ \textcolor{#6314ff}{s} & \text{호의 길이 (속력 1로 걸을 때의 시각), 점은 } \textcolor{#6314ff}{s} \text{ 미분} \end{array}

적도 $\textcolor{#0e9aa7}{\theta} = \pi/2$ , $\textcolor{#0e9aa7}{\phi} = \textcolor{#6314ff}{s}$ : $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}} = 0$ 이고 $\cos(\pi/2) = 0$ 이라 첫 식이 성립한다. $\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}} = 0$ , $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}} = 0$ 이라 둘째 식도 성립한다. 측지선이다.
자오선(북극과 남극을 잇는 반원) $\textcolor{#0e9aa7}{\phi}$ 가 상수, $\textcolor{#0e9aa7}{\theta} = \textcolor{#6314ff}{s}$ : $\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}} = \ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}} = 0$ , $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}} = 0$ 이라 두 식이 모두 성립한다. 측지선이다. 구의 회전은 거리를 바꾸지 않으므로 적도나 자오선을 기울인 모든 대원도 측지선이다.
위도선 $\textcolor{#0e9aa7}{\theta} = \textcolor{#1b9e77}{\theta_0} \ne \pi/2$ 를 경도만 고르게 늘려 가며 걷자: $\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}} = 0$ , $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}} = 0$ 이고 $\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}}$ 는 0이 아닌 상수다. 둘째 식은 성립한다. 그러나 첫 식의 좌변은 $0 - \sin\textcolor{#1b9e77}{\theta_0}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta_0}\, \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}}^2$ 이고, $\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta_0}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta_0} \ne 0$ 이라 0이 아니다. 측지선이 아니다.

위도선에서 첫 식에 남는 값 $-\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta_0}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta_0}\, \dot{\textcolor{#0e9aa7}{\phi}}^2$ 은, 위도선을 따라가려면 매 순간 핸들을 꺾어야 한다는 표시다. 곡면 위에서 매 순간 방향을 트는 양을 측지 곡률이라 부르는데, 적도에서는 남는 값이 없으니 측지 곡률이 0이고 핸들을 놓아도 된다. 위도선마다 얼마나 꺾는지를 숫자로 비교하는 일은 아래 문제 4에서 해 보자.

왼쪽은 메르카토르 지도, 오른쪽은 끌어서 돌릴 수 있는 지구본이다. 두 도시를 고르면 대원(측지선)과 항정선(지도 위의 직선, 나침반 방위를 일정하게 유지하는 길)이 함께 그려진다. 「지점」 슬라이더로 경로 위의 한 점을 골라, 그 점에서 측지선 방정식의 두 항이 서로 상쇄되는지 확인해 보자. 대원에서는 합이 0이 되고, 항정선에서는 0이 되지 않는다.

역사: 알렉시 클레로 (Alexis Clairaut, 1713–1765)

18세기 초 프랑스 학자들 사이에서는 지구가 적도 쪽으로 불룩한지(뉴턴의 주장), 극 쪽으로 길쭉한지를 두고 다툼이 있었다. 이를 가리려고 1736년 모페르튀이가 이끈 탐험대가 북극권 라플란드로 가서 경도선 1도의 길이를 쟀고, 스물을 갓 넘긴 클레로도 그 일행이었다. 지구가 둥근 공이 아니라 조금 납작한 타원체라면, 멀리 떨어진 두 측량 지점 사이의 가장 짧은 선이 어떤 모양인지부터 알아야 측량값을 서로 맞출 수 있다.

라플란드 탐험대가 잰 경도선 한 토막의 지도. 남쪽 보트니아만의 토르네아(Tornea)에서 북쪽 키티스(Kittis) 산까지 토르네 강 골짜기의 산꼭대기들을 삼각형으로 줄지어 잇고, 북극권 선(Cercle Polaire)을 가로지르는 「키티스 경도선(Meridien de Kittis)」을 그었으며, 강가의 「Base de 7406 Toi.」는 얼어붙은 강 위에서 직접 잰 기선이다. 출처: 모페르튀이 『지구의 모양(La Figure de la Terre)』(파리 왕립 인쇄소, 1738) 도판, 파리 천문대 소장본(BnF Gallica ark:/12148/btv1b2600199s), Wikimedia Commons, 퍼블릭 도메인

클레로는 1735년, 축을 중심으로 곡선을 돌려 만든 곡면(회전면) 위의 측지선에서 한 가지 양이 끝까지 변하지 않는다는 것을 찾았다. 곡선 위의 점에서 축까지의 거리에, 곡선이 그 점의 경도선과 이루는 각의 사인을 곱한 값이다. 거리와 사인의 이 곱이 변하지 않는다는 사실을 오늘날 클레로의 관계라 부르며, 구면도 회전면이므로 대원도 이 관계를 지킨다. 이런 선에 「측지선(ligne géodésique)」이라는 이름을 붙인 사람은 1799년의 라플라스로, 땅을 재는 학문(géodésie)의 선이라는 뜻이다.

지구가 납작한지 길쭉한지는 위성 사진 한 장이면 끝나잖아요. 그걸 가리려고 북극권까지 갔다니요.

얼마나 납작한지부터 볼까요. 지금 재 둔 값으로 적도 반지름은 약 6,378 km, 극 반지름은 약 6,357 km예요. 차이가 21 km, 0.3%쯤이에요.

0.3%면 지구본으로 만들어도 눈으로는 못 가리겠네요. 그럼 경도선 1도의 길이도 라플란드랑 프랑스에서 거의 같겠어요.

지금의 값으로 셈하면 북위 66°에서 약 111.5 km, 파리 근처 북위 49°에서 약 111.2 km예요. 300 m쯤의 차이를, 위성도 GPS도 없이 땅 위에 삼각형을 이어 가며 재고 위도는 별의 높이로 재서 가려내야 했어요.

측량값을 맞추려면 두 지점 사이 가장 짧은 선의 모양을 알아야 한다고 했잖아요. 지금이면 타원체 위에서 측지선 방정식을 컴퓨터로 수치로 풀면 될 텐데요.

그 방정식을 곡면마다 좌표로 적는 틀이 아직 없었어요. 측지선 방정식에 들어가는 크리스토펠 기호는 1869년에야 나와요. 그래서 클레로는 방정식을 다 풀지 않고, 회전면에서 끝까지 변하지 않는 양 하나를 붙잡은 거예요.

잠깐만요. 위도선도 축까지의 거리가 그대로고, 경도선과 늘 90°로 만나니까 사인도 늘 1이에요. 그러면 위도선도 그 곱이 변하지 않는데, 위도선은 측지선이 아니라고 했잖아요?

그럼 곱이 그대로인 것만 보고는 측지선인지 못 가리는 거네요. 매 순간 핸들을 얼마나 꺾었는지는 무엇으로 재야 해요?

문제 3: 운동장 트랙의 두 레인

확인 운동장 트랙의 곡선 구간에서 안쪽 레인은 반지름 36 m, 바깥 레인은 반지름 45 m인 반원이라고 하자. (가) 두 선수가 곡선 구간을 지나는 동안 몸의 방향은 각각 몇 도 바뀌는가? (나) 1 m를 달릴 때마다 트는 각도는 각각 얼마인가? 어느 선수가 더 많이 꺾는 셈인가?

문제 3의 곡선 구간. 반지름 36 m인 안쪽 레인과 반지름 45 m인 바깥 레인이 같은 중심을 둔 반원이다

같이 풀기 세션 3

둘 다 반 바퀴니까 180°씩 바뀌어요. 그럼 똑같이 꺾은 거죠. (나)도 같을 거고요.

두 선수가 곡선 구간을 지나는 데 달린 거리는 같아요?

아, 아니요. 안쪽은 $\pi \times 36 \approx 113.1$ m, 바깥쪽은 $\pi \times 45 \approx 141.4$ m예요. 1 m마다 트는 각은 $180° / 113.1 \approx 1.59°$ 와 $180° / 141.4 \approx 1.27°$ 네요. 총량은 같아도 안쪽 선수는 더 짧은 길에서 180°를 몰아서 트니까 1 m마다 더 많이 꺾어요.

1 m마다 트는 각을 라디안으로 쓰면 $1/36$ 과 $1/45$ 로, 반지름의 역수야. 작은 원일수록 많이 트는 게 숫자로 보이네.

과제 두 개에 똑같이 열 시간을 썼어도 하나는 이틀에, 하나는 일주일에 나눠 했으면 하루 부담이 전혀 달랐던 거랑 같네요.

문제 4: 북위 60°와 북위 30°를 따라 걷는 사람의 핸들

계산 지구를 반지름 6,371 km인 구로 보자. (가) 북위 60° 위도선과 북위 30° 위도선을 따라 등속으로 걸을 때, 반지름 1인 구에서 속력 1로 걷는다면 매 순간 꺾어야 하는 양(측지 곡률)은 각각 얼마인가? 계속 동쪽을 보고 걷는데 무엇을 꺾는다는 것인가? (나) 북위 60° 위의 경도 0° 지점과 경도 180° 지점 사이의 거리를, 위도선을 따라갈 때와 대원을 따라갈 때 각각 구하라.

(나)의 두 점은 위 도구의 「문제 4 불러오기」로 고를 수 있다.

문제 4의 구. 북위 60°와 북위 30° 위도선(굵은 선), 적도(회색), 그리고 (나)에서 묻는 북위 60°의 경도 0° 지점과 경도 180° 지점. 점선은 구의 뒤쪽이다

같이 풀기 세션 4

위의 계산으로 위도선이 측지선이 아니라는 건 봤는데, 솔직히 와닿지가 않아요. 위도를 계속 60°로 유지하면서 동쪽으로 쭉 가잖아요. 방향을 한 번도 안 바꿨는데요.

방향을 안 바꿨는데 왜 측지선이 아니냐는 물음은 잠깐 두고, 꺾는 양부터 재 봐요.

위의 계산처럼 해 볼게. 북위 60°는 북극에서 잰 각도로 $\textcolor{#0e9aa7}{\theta} = 30°$ 니까 이걸로 고정, $\textcolor{#0e9aa7}{\phi} = \textcolor{#6314ff}{s}$ 로 두면 첫 식이 $0 - \sin 30°\cos 30° = -0.433$ 이야. 북위 30°는 $\textcolor{#0e9aa7}{\theta} = 60°$ 라 $-\sin 60°\cos 60°$ 인데…

$-0.433$ 이요. 어? 똑같아요. 북극 근처의 작은 원이랑 적도 근처의 큰 원에서 꺾는 양이 같다는 건 말이 안 되는데요.

$\textcolor{#0e9aa7}{\phi} = \textcolor{#6314ff}{s}$ 로 두면 두 위도선에서 걷는 속력이 같나요?

아니요. 경도 1만큼 가는 동안 실제로 걷는 거리는 위도선의 반지름 $\sin\textcolor{#0e9aa7}{\theta}$ 예요. 북위 60°에서는 더 천천히 걸은 거예요.

그럼 두 위도선을 같은 조건으로 비교하려면 어떻게 둬야 할까요?

속력이 1이 되게 $\textcolor{#0e9aa7}{\phi} = \textcolor{#6314ff}{s}/\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta_0}$ 로 두면… $-\cot\textcolor{#1b9e77}{\theta_0}$ 가 나와요. 북위 60°는 $\cot 30° \approx 1.73$ , 북위 30°는 $\cot 60° \approx 0.58$ 이에요. 이제야 작은 원일수록 많이 꺾네요.

아까 문제 3(트랙의 두 레인)이랑 같아. 반 바퀴에 180°는 두 레인이 같았지만 1 m마다로 맞추니 차이가 보였잖아. 여기서도 같은 거리를 가는 동안으로 맞추려면 속력을 1로 맞춰야 했어.

그런데 난 핸들 안 꺾었다니까? 계속 동쪽으로 갔는데.

민준 학생이 북위 60°에서 동쪽을 보고 서 있다고 해 봐요. 그 방향으로 대원을 따라 똑바로 가면 위도가 어떻게 돼요?

…적도 쪽으로 내려가네요. 대원은 적도를 두 번 지나니까요. 60°를 계속 유지하려면 계속 왼쪽, 북극 쪽으로 틀어야 하는 거고요. "동쪽"이라는 방향 자체가 걸을 때마다 돌아가서 제가 틀고 있다는 걸 못 느낀 거예요.

클레로의 관계로 봐도 그래. 정동쪽을 보고 출발하면 경도선과 이루는 각이 90°라 사인이 이미 1이고, 더 커질 수 없어. 곱이 그대로이려면 축까지의 거리가 줄 수 없으니까 축에서 멀어지는 쪽(적도 쪽)으로만 갈 수 있어.

(나)는 numpy로 했어요. 위도선은 반원이니까 $\pi \times 6371 \times \sin 30° \approx 10{,}008$ km, 대원은 북극을 넘어가면 중심각이 $30° + 30° = 60°$ 라 $6371 \times \pi/3 \approx 6{,}672$ km예요. 3,300 km 넘게 차이 나네요.

도구에서 「문제 4 불러오기」를 눌러 봐도 길이가 10,008 km와 6,672 km로 나와요. 그런데 지도 위의 직선(항정선)이 바로 위도선이었네요. 표에서 항정선 쪽 $\textcolor{#0e9aa7}{\theta}$ 식의 합이 $-1.732$ 라서, 서연이가 구한 $-\cot 30°$ 와도 맞아요.