홀로노미: 한 바퀴 돌고 온 화살표의 어긋남

3차원에서 들고 가서 접선공간에 사영하기를 잘게 쪼개 정한 평행이동을 닫힌 경로에서 해 보면, 평면에서 당연했던 성질이 깨진다. 평면에서는 어떤 경로를 돌아도 화살표가 제자리였지만, 구면에서는 출발 문제처럼 한 바퀴 돌고 온 화살표가 어긋난다. 같은 출발점에서 같은 도착점으로 가더라도, 어떤 경로를 택하느냐에 따라 화살표의 최종 방향이 달라진다.

출발 문제에서는 적도를 따라 간 거리를 두 배로 늘리면 회전량도 두 배가 되었다. 화살표의 회전량이 정말 경로가 둘러싼 넓이를 따라가는지, 넓이와 나란히 적어 확인해 보자.

되돌아옴의 어긋남과 홀로노미 정리

출발 문제의 실험(북극 → 적도 → 적도를 따라 동쪽 → 북극)을 둘러싼 넓이와 나란히 적어 보자. 이 삼각형은 반지름 1인 구에서 넓이가 적도를 따라 간 각도(라디안)와 같고, 같은 모양을 반지름 2인 구에 그리면 넓이는 $2^2 = 4$ 배가 된다.

적도를 따라 간 각	넓이 (반지름 1)	넓이 (반지름 2)	화살표의 회전 (두 구 모두)
90°	1.571	6.283	90° = 1.571 rad
180°	3.142	12.566	180° = 3.142 rad
360°	6.283	25.133	360° = 6.283 rad (제자리)

두 구 모두 한 바퀴 돌고 온 화살표의 어긋남이 둘러싼 넓이를 따라 커진다. 이 어긋남에 이름을 붙이자.

홀로노미(되돌아옴의 어긋남, Holonomy)는 닫힌 경로를 따라 평행이동한 벡터가 출발점에 돌아왔을 때 처음 벡터와 어긋난 각이다. 평평한 공간에서는 어떤 닫힌 경로에서나 0이다.

반지름 1인 구에서는 넓이 1당 1 rad 돈다. 반지름 2인 구에서는 넓이가 4배인데 회전은 같으니 넓이 1당 0.25 rad이다. 이 넓이당 회전이 가우스 곡률 $\textcolor{#b8860b}{K}$ 다. 곡면의 한 점 근처가 얼마나 휘었는지를 나타내는 수로, 반지름 $\textcolor{#0561ff}{R}$ 인 구면에서는 어디서나 $1/\textcolor{#0561ff}{R}^2$ 이고, 평면과 종이를 말아 만든 원기둥·원뿔의 옆면에서는 0이다.

출발 문제의 삼각형을 반지름 1인 구와 반지름 2인 구에 그렸을 때, 둘러싼 넓이와 한 바퀴 돌고 온 화살표가 돈 각. 점은 위 표의 세 줄이다. 두 구 모두 점이 원점을 지나는 직선 위에 놓이고, 그 기울기(넓이당 회전)가 반지름 1인 구에서 1, 반지름 2인 구에서 0.25다

곡률이 곳마다 다르면 작은 넓이마다 곡률을 곱해 모두 더한다. 곡면 위의 닫힌 곡선 $C$ 가 구멍 없는 한 조각의 영역 $\Omega$ (오메가)를 둘러쌀 때, $C$ 를 따라 한 바퀴(영역을 왼쪽에 두고) 평행이동한 벡터의 회전각 $\Delta\theta$ 는 다음과 같다.

\textcolor{#a0522d}{\Delta\theta} = \iint_{\textcolor{#964079}{\Omega}} \textcolor{#b8860b}{K} \, \textcolor{#f320e5}{dA}

\begin{array}{ll} \textcolor{#a0522d}{\Delta\theta} & \text{홀로노미: 한 바퀴 평행이동한 벡터가 돌아간 각도 (좌표 } \theta \text{ 와 다른 뜻)} \\ \textcolor{#b8860b}{K} & \text{가우스 곡률} \\ \textcolor{#964079}{\Omega} & \text{닫힌 경로가 둘러싼 영역} \\ \textcolor{#f320e5}{dA} & \text{넓이 요소} \end{array}

이 관계를 홀로노미 정리라 부른다. 표의 360° 줄에서 보듯 각도는 한 바퀴 $2\pi$ 를 더하거나 빼도 같은 방향이므로, 회전각은 $2\pi$ 의 배수를 무시하고 비교한다.

구면 위의 닫힌 경로를 따라 화살표를 평행이동하는 실험실이다. 경로를 구면 삼각형이나 위도선으로 고르고 크기를 바꾼 뒤 재생해 보자. 한 바퀴를 다 돌면, 위젯이 직접 계산한 회전각(측정)과 둘러싼 넓이로 예측한 값 $\iint \textcolor{#b8860b}{K}\,\textcolor{#f320e5}{dA}$ 가 나란히 나온다. 구면은 끌어서 돌릴 수 있다.

지남거: 수레가 하는 평행이동

자동차로 회전교차로를 한 바퀴 돌면 바깥쪽 바퀴가 안쪽 바퀴보다 더 많이 구른다. 바퀴 간격이 2 m인 차로 반지름 15 m인 교차로를 돌면 바깥 바퀴는 100.53 m, 안쪽 바퀴는 87.96 m를 굴러 12.57 m 차이가 난다. 교차로의 반지름이 5 m든 50 m든 차이는 똑같이 12.57 m, 곧 $2\pi \times 2$ m다. 두 바퀴가 구른 거리의 차를 바퀴 간격으로 나누면 차가 몸을 돌린 각이 나오기 때문이다( $12.57 / 2 = 2\pi$ rad $= 360°$ ). 자동차의 차동 기어는 두 바퀴가 이렇게 다르게 구르도록 받아 주는 장치다.

옛 중국의 지남거(指南車, 남쪽을 가리키는 수레)는 두 바퀴가 구른 거리의 차로 방향을 지켰다. 수레 위의 인형이 한 방향을 가리키고, 수레가 꺾이면 톱니바퀴가 두 바퀴가 구른 거리의 차만큼 인형을 반대로 돌려, 수레가 어느 쪽을 향하든 인형은 처음 방향을 가리킨다. 자석을 쓰지 않는 기계식 나침반이다. 만든 사람으로 기록이 확실한 첫 인물은 삼국시대 위나라의 기술자 마균(馬鈞)으로, 『송서』는 그가 청룡 연간(233~237)에 명제의 명을 받아 만들었다고 적는다. 속이 어떻게 생겼는지는 남아 있지 않아서, 조지 랜체스터(George Lanchester)가 제안한 차동 기어 설계가 널리 알려진 가설이다.

평평한 땅에서는 이 수레가 완벽하다. 교차로를 한 바퀴 돌면 수레는 360° 돌고, 톱니가 인형을 360° 되돌려 인형은 제자리다. 지남거가 하는 일을 곡면 위에서 보면 바로 평행이동이다. 두 바퀴가 똑같이 구르는 동안 인형은 수레에 대해 돌지 않고, 바퀴 차가 생기는 만큼만 되돌려진다. 1992년 산탄데르(M. Santander)는 물리 교육 학술지 『American Journal of Physics』에 실은 논문에서, 이 수레가 곡면 위에서 평행이동을 하는 장치이고 닫힌 길을 돌고 오면 인형이 둘러싼 곡률만큼 어긋난다는 것을 보였다.

출발 문제의 삼각형을 지구 위에서 지남거로 달려 보자. 북극에서 경도 0°를 따라 적도까지, 적도를 따라 경도 90°까지, 다시 경도 90°를 따라 북극으로 간다. 세 변이 모두 대원이고 한 변이 약 10,008 km다. 바퀴 간격 2 m로 직접 셈해 보면 대원 위를 달리는 동안 두 바퀴가 구른 거리는 똑같아서 톱니가 돌지 않는다. 모퉁이 세 곳에서 수레는 제자리에서 왼쪽으로 90°씩 꺾고, 그때마다 인형은 수레에 대해 오른쪽으로 90°씩 되돌려진다. 평면의 삼각형이라면 세 모퉁이에서 꺾은 각의 합이 360°여야 수레가 처음 방향을 향하는데, 이 구면 삼각형에서는 270°만 꺾어도 수레가 처음 방향을 향한다. 인형은 수레에 대해 270° 되돌려졌으니 처음 방향과 90° 어긋나 있다. 위 표의 첫 줄에서 반지름 1인 구의 넓이 1.571을 둘러싼 화살표가 90° 돈 것과 같은 값이다.

출발 문제의 삼각형(북극 → 적도의 경도 0° → 적도의 경도 90° → 북극)을 지남거로 달릴 때 인형이 가리키는 방향(주황). 대원을 따라가는 동안 인형은 수레에 대해 돌지 않고, 모퉁이마다 수레가 왼쪽으로 90° 꺾은 만큼만 되돌려진다. 수레가 꺾은 각은 모두 270°라, 북극에 돌아온 인형은 출발할 때(점선)와 90° 어긋나 있다

수레가 땅 위를 다니는 거리에서 지구의 곡률이 인형을 얼마나 틀어 놓는지도 홀로노미 정리로 셈할 수 있다. 인형의 어긋난 각은 둘러싼 넓이에 곡률 $1/\textcolor{#0561ff}{R}^2$ 을 곱한 값이라, 지구( $\textcolor{#0561ff}{R} \approx 6371$ km) 위에서 10 km × 10 km 땅을 한 바퀴 돌면 $100 / 6371^2 \approx 2.46 \times 10^{-6}$ rad, 0.51각초(1각초는 1°의 3600분의 1)에 그친다. 넓이 100만 km²를 둘러싼 고리를 돌아도 1.41°다. 수레가 다니는 거리에서는 바퀴가 미끄러지거나 톱니가 헐거워 생기는 오차가 훨씬 크고, 지구가 둥글다는 흔적은 대륙을 가로지르는 고리에서야 드러난다.

역사: 굴러가는 공과 「홀로노미」라는 이름

제자리에 돌아왔는데 어느 길로 왔느냐가 흔적으로 남는 일은 역학에서 먼저 골칫거리가 되었다. 1894년 하인리히 헤르츠(Heinrich Hertz)는 책 『역학의 원리』에서 물체의 움직임에 붙는 제약을 두 부류로 갈랐다. 한 부류는 제약이 물체가 놓일 수 있는 자리들 사이의 관계로 적혀, 헤르츠의 말로 「적분 법칙」을 따르는 계다. 그는 이런 계를 홀로노믹 계라 불렀다(그리스어 holos는 「전체」라는 뜻이다). 다른 부류는 한 순간 한 순간 어느 쪽으로 움직일 수 있는지만 정하는 「미분 법칙」만 따르는 계다.

헤르츠 『역학의 원리』(1894) 영역본(1899) 80쪽에서 정의 3이 홀로노믹 계(holonomous system)를 정하고, 각주는 그 이름이 「적분(ὅλος) 법칙(νόμος)」을 따른다는 뜻이라고 적는다. 출처: Wikimedia Commons(Internet Archive 스캔), 퍼블릭 도메인

미끄러지지 않고 구르는 공이 뒤쪽의 대표인데, 탁자 위의 같은 자리로 굴려 와도 어느 길로 굴렸느냐에 따라 공의 자세가 다르다. 반지름 1인 공을 한 변이 공 둘레의 4분의 1인 정사각형을 따라 굴려 제자리에 오면, 처음 바닥에 닿아 있던 점이 공의 옆면으로 올라가 있다. 자리만 알아서는 자세를 알 수 없는 것이다. 1926년 엘리 카르탕(Élie Cartan)은 대칭이 큰 공간들을 분류하면서, 한 점에서 출발해 돌아오는 경로들이 만드는 이런 어긋남을 모두 모아 홀로노미라는 이름을 붙였다. 이 장의 화살표도 굴러가는 공과 같은 처지여서, 제자리에 돌아와도 어느 길로 왔는지가 화살표에 남는다.

반지름 1인 공을 한 변이 공 둘레의 4분의 1인 정사각형을 따라 미끄러지지 않게 굴렸을 때 처음 바닥에 닿아 있던 점(주황)은 변마다 공이 수평축 둘레로 90°씩 돌아, 제자리에 돌아왔을 때 옆면에 가 있다. 회전을 직접 계산해 그린 그림

공의 자세가 길마다 달라지는 건 지금이면 시뮬레이션 몇 줄로 보이잖아요. 구를 때마다 회전 행렬을 곱해 쌓으면 되고요.

그 시뮬레이션이 하는 일이 매 순간 「지금 어느 쪽으로 구를 수 있나」를 따라 더하는 거죠. 헤르츠가 가진 것도 그 규칙이었어요. 그 규칙만 보고, 자리만 알면 자세가 정해지는 계인지 어떻게 가려낼까요?

음, 규칙을 적분해서 자리와 자세 사이의 식이 나오면 앞 부류겠죠. 그런데 식이 안 나온다는 걸 보이기는 어렵겠네요. 내가 못 찾은 건지 처음부터 없는 건지 모르니까요.

헤르츠의 일은 두 부류를 가르고 이름을 붙이는 것이었어요. 길마다 자세가 얼마나 달라지는지를 재려면, 곡면 위에서 화살표를 「돌리지 않고 옮긴다」는 말부터 있어야 해요. 그 말은 헤르츠의 책보다 20여 년 뒤인 1917년, 레비-치비타에 와서야 나와요.

아, 그럼 카르탕이 1926년에 홀로노미라는 이름을 붙인 것도 평행이동이 생긴 다음이네요. 화살표가 무엇에 대고 몇 도 돌아갔는지를 말할 수 있게 된 뒤에요.

공은 자리만 알아서는 자세를 몰랐는데, 화살표는 둘러싼 곡률을 더하면 어긋난 각을 안다는 거죠? 그럼 경로 모양이 달라도 둘러싼 곡률의 합이 같으면 어긋난 각도 같아요?

곁글 · 한 바퀴 돌아와서 어긋난 만큼으로 안에 숨은 것을 읽는다

출발점으로 돌아오는 길을 한 바퀴 돌고, 돌아왔을 때 처음과 어긋난 만큼을 잰다. 고리 안쪽을 하나하나 들여다보지 않아도 그 어긋남이 안에 무엇이 있는지를 알려 준다. 안에 아무것도 없으면 어긋남도 없다.

전기 기사가 전선의 전류를 잴 때 쓰는 클램프 미터가 이렇게 잰다. 집게처럼 벌어지는 고리로 전선을 감싸기만 하면, 전선을 끊거나 건드리지 않고도 전류를 읽는다. 전류가 흐르는 전선 둘레에는 자기장이 생기고, 닫힌 고리를 따라 자기장을 한 바퀴 더한 값은 고리 안을 지나는 전류의 합과 같다(앙페르의 법칙). 그래서 전류가 오가는 두 가닥이 함께 든 전깃줄을 통째로 물리면, 두 전류가 서로 지워져 0이 나온다. 클램프 미터가 읽는 것은 고리 안을 지나는 전류의 알짜 합이다.

기계학습에도 같은 수가 있다. 2017년 주준옌(Jun-Yan Zhu)·박태성·이솔라(Phillip Isola)·에프로스(Alexei Efros)의 CycleGAN은 말 사진을 얼룩말 사진으로 바꾸는 모델을, 같은 장면을 찍은 말·얼룩말 사진 쌍 없이 학습했다. 정답 쌍이 없으니 바꾼 사진이 맞았는지 하나하나 대 볼 수 없다. 대신 말 → 얼룩말 → 말로 한 바퀴 돌려, 돌아온 사진이 처음 사진과 어긋난 만큼을 페널티로 삼았다. 한 바퀴 돌려 돌아온 사진의 어긋남이 두 번역기 어딘가에 숨은 잘못을 드러낸다.

홀로노미 정리도 같은 자세로, 화살표를 한 바퀴 돌려 어긋난 각 하나로, 고리 안 곡률을 모두 더한 값을 읽는다.

문제 3: 환전 한 바퀴

확인 수수료가 없는 가상의 환전소 세 곳이 있다. 첫 곳은 1달러를 1,400원에, 둘째 곳은 1달러를 150엔에, 셋째 곳은 100엔을 950원에 바꿔 준다(세 곳 모두 양쪽 방향으로 같은 값에 바꿔 준다). (가) 140만 원을 원 → 달러 → 엔 → 원 순서로 한 바퀴 바꾸면 얼마가 되는가? (나) 14만 원으로 같은 바퀴를 돌면 몇 % 늘어나는가? (다) 거꾸로 원 → 엔 → 달러 → 원으로 돌면? (라) 셋째 곳이 100엔을 몇 원에 바꿔 주면 어느 쪽으로 돌아도 제자리인가?

문제 3의 환전소 세 곳. 원·달러·엔을 잇는 세 변에 각 환전소의 환율을 적었고, 가운데 화살표는 (가)의 원 → 달러 → 엔 → 원 순서다

같이 풀기 세션 3

(가)는 140만 원 → 1,000달러 → 15만 엔 → 142만 5천 원. 2만 5천 원 벌었어요. (나)는 돈이 10분의 1이니까 버는 것도 2,500원, 비율로는 똑같이 1.79%예요. (다)도 같은 세 곳을 도니까 역시 1.79% 벌겠죠.

거꾸로 도는 건 한 바퀴의 환전을 하나하나 되돌리는 거죠. (가)에서 한 바퀴가 몇 배였어요?

1.0179배요. 거꾸로 돌면 그 역수, 0.9825배니까 오히려 1.75% 잃어요. 도는 방향을 바꾸니까 이익이 손실로 뒤집혔어요.

그리고 얼마로 시작하든 배율은 같아. 한 바퀴의 배율 1.0179는 들고 간 돈이 아니라 세 환율이 만든 고리에서 나오는 거지. (라)는 1달러 = 1,400원 = 150엔이니까 100엔은 $1400 \times 100 / 150 \approx 933.33$ 원. 그러면 두 방향 모두 1배야.

세 환율이 모두 한 가지 가치 기준에서 나온 것처럼 맞아떨어지면, 어느 고리를 어느 방향으로 돌아도 배율이 1배예요. 배율이 1배에서 벗어난다는 건 표 어딘가에 맞아떨어지지 않는 곳이 있다는 뜻이고요.

평면이 그랬네요. 어느 경로를 돌아도 화살표가 제자리였으니까요.

문제 4: 원기둥을 한 바퀴 감는 원

확인 원기둥 옆면에서 둘레를 한 바퀴 감는 수평 원을 따라 화살표를 평행이동한다. 제자리로 돌아왔을 때 화살표는 몇 도 돌아가 있는가?

문제 4의 설정. 원기둥 옆면을 한 바퀴 감는 수평 원(뒤쪽은 점선)과, 출발점에서 옆면에 놓인 화살표

같이 풀기 세션 4

360°요. 원기둥을 한 바퀴 빙 돌았으니까 화살표도 같이 한 바퀴 돌았겠죠.

아니야, 0°. 원기둥은 종이를 말아서 만든 거라 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$ 이잖아. 그러면 $\iint \textcolor{#b8860b}{K}\, \textcolor{#f320e5}{dA} = 0$ 이야.

서연 학생, 그 적분의 $\textcolor{#964079}{\Omega}$ 는 어디예요? 이 원이 원기둥 위에서 둘러싸는 영역이요.

어… 원 위쪽도 아래쪽도 고리 모양 띠라서, 원이 감싸는 원판 같은 "안쪽"이 원기둥 위에 없네요. 정리의 조건이 성립하지 않아요.

맞아요. 답 0°는 맞지만, 그 이유로는 말할 수 없어요. 다른 이유를 찾아볼까요? 민준 학생, 원기둥을 한 줄 잘라서 펴면 이 원은 뭐가 돼요?

직사각형 위의 가로 선분이요! 평면에서 선분 따라 화살표를 밀면 방향이 그대로니까… 다시 말아 붙여도 0°네요. 제가 말한 360°는 원기둥 밖에서 본 방향이었어요. 곡면 위에서 잰 방향으로는 한 번도 안 돌린 거고요.

지남거, 곧 바퀴 차로 인형을 되돌려 평행이동을 하는 수레를 그 원 위로 몰아 봐도 같은 답이 나와요. 원기둥 둘레의 수평 원을 따라가면 두 바퀴는 얼마나 굴러요?

두 바퀴가 높이만 다르고 반지름이 같은 수평 원을 도니까 똑같이 굴러요. 톱니가 한 번도 안 돌았으니 인형은 수레에 대해 한 번도 돌지 않았어요. 밖에서 보면 수레도 인형도 360° 돌았지만, 원기둥 위에서 잰 방향으로는 0°고요.

조교님이 제 코드 보고 "좌표축을 같이 돌려놓고 값이 변했다고 하면 안 된다"고 한 거랑 같네요. 기준이 같이 돌아가면 안 된 것도 된 것처럼 보이잖아요.

정리를 쓰기 전에 가정부터 확인해야지. 해석학 시간에 그린 정리를 구멍 난 영역에 그냥 썼다가 틀린 적 있는데, 똑같은 실수를 할 뻔했어.

문제 5: 제자리로 돌아온 파라미터, 돌아간 모멘텀

계산 파라미터가 반지름 1인 구면 위에 묶인 모델을, 모멘텀을 평행이동으로 옮기는 곡면 위 옵티마이저로 학습한다. 세 번의 스텝으로 파라미터가 북극 → 북극에서 20° 떨어진 경도 0°의 점 → 북극에서 20° 떨어진 경도 90°의 점 → 북극으로, 대원 조각을 따라 돌아왔다. 그래디언트가 새로 더한 항은 빼고, 첫 스텝 직전에 있던 모멘텀 벡터(첫 스텝 방향을 가리킨다)만 따라가자. (가) 제자리로 돌아왔을 때 이 모멘텀 벡터는 처음 방향과 몇 도 어긋나 있는가? 삼각형이 작으니 평면 삼각형으로 근사해 보라. (나) 같은 세 점을 거꾸로 돌면?

문제 5의 세 점과 대원 조각을 반지름 1인 구면의 북극 위에서 내려다본 그림. 북극 → 경도 0°의 점 → 경도 90°의 점 → 북극 순서로 돌고, 두 점은 북극에서 20° 떨어져 있다. 주황 화살표는 첫 스텝 직전의 모멘텀이다

위 그림 도구에서 「문제 5 불러오기」를 누르면 이 삼각형이 들어간다.

같이 풀기 세션 5

그래디언트 항을 뺐으니까 모멘텀은 옮겨지기만 했잖아요. 평행이동은 돌리지 않고 옮기는 거니까 0°요.

출발 문제의 화살표도 돌리지 않고 옮겼죠. 그런데 무엇이 달랐어요?

아… 제자리에 돌아와도 경로가 둘러싼 넓이만큼 어긋났어요. 이번 삼각형도 뭔가를 둘러싸고 있고요.

삼각형이 작으니까 평면 삼각형으로 근사하면, 북극에서 나가는 두 변이 20°, 곧 0.349 rad씩이고 사이각이 90°라 넓이가 $\frac{1}{2} \times 0.349^2 \approx 0.0609$ 야. 반지름 1인 구라 $\textcolor{#b8860b}{K} = 1$ 이니까 $\textcolor{#a0522d}{\Delta\theta} \approx 0.0609$ rad, 약 3.5°.

도구에서 불러와 돌려 보니 3.6°가 나와요. 근삿값이 조금 작은데요?

구면 삼각형은 두 변과 사이각이 같은 평면 삼각형보다 조금 넓어요. 그 차이예요. 작은 고리일수록 평면 근사가 잘 맞고요.

(나)는 영역을 오른쪽에 두고 도니까 반대쪽으로 3.6° 돌아가겠네.

아까 문제 3(환전 한 바퀴)이랑 같네요. 모멘텀이 틀어지는 각은 들고 간 모멘텀이 아니라 파라미터가 돈 고리에서 나오고, 거꾸로 돌면 뒤집혀요. 그래디언트가 없어도 곡면 위에서 빙 돌아오면 모멘텀 방향이 틀어져 있는 거예요.

풀어 본 뒤 이 절의 그림 도구(구면 평행이동 실험실)에서 「문제 5 불러오기」를 눌러 확인해 보자.