곡면 위의 직선은 뭔가

출발 문제

서울에서 뉴욕까지 비행기를 타 본 적이 있다면, 좌석 앞 모니터에 뜬 비행경로가 이상하게 북쪽으로 크게 휘어져 있는 것을 봤을 것이다. 알래스카 근처를 지나가는 이 경로는 세계지도 위에 직선으로 그은 경로보다 훨씬 “돌아가는” 것처럼 보인다. 그런데 지구본 위에서 두 도시 사이에 실을 팽팽히 당겨 보면, 실은 바로 이 휜 경로를 따라 놓인다.

메르카토르 지도는 고위도를 크게 늘려 그린 지도라서, 그 위의 곧은 선이 지구 위에서도 곧은 길이라는 보장이 없다. 실을 당긴 길은 대원(구의 중심을 지나는 평면이 구면과 만나서 생기는 큰 원)의 일부이고, 늘어난 지도 위에서는 휘어져 보인다.

이 사실은 근본적인 질문을 던진다: 곡면 위에서 "직선"이란 도대체 무엇인가? 평면에서는 너무 당연해서 정의할 필요조차 느끼지 못하는 이 개념이, 휘어진 공간에서는 전혀 자명하지 않다. 실을 팽팽하게 당기면 직선이 된다고? 구면 위에서 실을 팽팽히 당기면 대원이 된다. 그러면 대원이 "구면 위의 직선"인가?

더 생각해 보면 질문은 복잡해진다. 안장 모양의 곡면에서는? 도넛(토러스) 위에서는? 곡면의 형태가 달라질 때마다 "직선"의 의미가 바뀐다면, 이 모든 것을 아우르는 통일된 정의가 있을까?

측지선: 핸들을 꺾지 않고 가는 길

곡면 위의 "직선"을 정의하려면, 평면의 직선이 무엇 때문에 직선인지부터 알아야 한다.

유클리드 평면에서 직선의 성질을 곰곰이 생각하면, 두 가지 독립적인 특성이 보인다.

첫째, 직선은 최단경로다. 두 점 사이를 잇는 모든 곡선 중에서 길이가 가장 짧은 것이 직선이다. 이것은 "실을 팽팽히 당기면 직선이 된다"는 직관과 맞닿아 있다. 둘째, 직선은 가속도가 0인 곡선이다. 직선 위를 등속으로 달리는 자동차의 핸들은 돌릴 필요가 없다 — 가속도(방향의 변화율)가 0이다. 이것은 "관성의 법칙"과 같은 말이다: 바깥에서 미는 힘이 없으면 직선으로 간다.

평면에서는 이 두 성질이 동일한 곡선(직선)을 정의하므로 구별할 필요가 없다. 하지만 곡면 위로 가면 두 성질을 따로 일반화해야 한다. 먼저 “가속도 0” 쪽부터 가 보자. 곡면 위에서 가속도가 0이라는 것은, 곡선의 접선벡터(진행 방향)를 곡선 자신을 따라 평행이동(곡선을 따라 돌리지 않고 옮기기)했을 때 변하지 않는다는 뜻이다. 걸어가면서 진행 방향을 “돌리지 않고” 들고 가는 것이다.

개미의 직진

개미가 곡면 위를 걸어간다고 하자. 개미는 자기 발밑의 곡면만 느낄 수 있고, 3차원 공간에서 곡면이 어떻게 생겼는지는 모른다. 이 개미가 왼쪽으로도 오른쪽으로도 틀지 않고 가능한 한 직진하겠다고 결심하면, 개미가 걷는 경로가 곡면 위의 직선이다. 개미는 자신이 직진하고 있다고 느끼지만, 3차원에서 바라보면 경로가 휘어져 있을 수 있다.

• 측지선 (관성의 길 / Geodesic) — 접선벡터를 자기 자신을 따라 평행이동해도 변하지 않는 곡선. 식으로는 $\nabla_{\gamma'}\gamma' = 0$으로 쓴다. $\nabla$는 공변미분(좌표 탓 가짜 변화를 뺀 미분)이고, 이 식은 진행 방향 $\gamma'$을 진행 방향으로 공변미분하면 0, 곧 진행 방향이 곡면 위에서 조금도 돌지 않는다는 뜻이다. 곡면 위에서 핸들을 돌리지 않고 직진하는 경로다. 구면에서는 대원, 평면에서는 직선이 된다.

문제 1 — 휴지심의 비스듬한 이음매

같이 풀기 세션 1

한 바퀴 도는 데 12 cm, 올라가는 데 10 cm니까 22 cm요. 그리고 빙빙 돌며 올라갔으니까 계속 한쪽으로 틀었죠.

휴지심을 이음매 말고 세로로 곧게 한 줄 가위로 자른 다음 펴 보면 무슨 모양이 돼요?

가로 12 cm, 세로 10 cm인 직사각형이요. 이음매는 한 모서리에서 맞은편 모서리로 가는 대각선이 되고요. 그럼 $\sqrt{12^2 + 10^2} \approx 15.6$ cm예요. 옆으로 가는 것과 위로 가는 것을 동시에 했으니 따로 더하면 안 됐네요.

(나)도 펴 놓은 그림에서 보면 돼. 대각선은 곧은 선이니까 개미는 한 번도 안 틀었어. 종이를 펴도 늘거나 줄지 않으니까, 개미가 발밑에서 느끼는 길이와 방향은 원기둥 위에서나 펴 놓은 종이에서나 똑같아.

맞아요. 바깥에서 보면 빙빙 도는 것 같아도 개미 발밑에서는 곧은 길이에요.

물리 과제에서 동쪽으로 간 거리와 북쪽으로 간 거리를 그냥 더했다가, 조교님이 "동시에 간 건 피타고라스로 합치세요"라고 적어 주셨던 거랑 같은 실수네요.

문제 2 — 원기둥 위의 세 곡선

확인 원기둥 옆면 위의 세 곡선 (가) 세로 모선(옆면을 위아래로 곧게 지나는 직선) (나) 수평 원 (다) 일정한 기울기로 감아 올라가는 나선 중 측지선인 것을 모두 고르라.

같이 풀기 세션 2

(가)랑 (다)요. (다)는 아까 휴지심 이음매랑 같으니까요. 그런데 (나) 수평 원은 제자리에서 빙빙 돌기만 하잖아요. 한 바퀴 돌면 방향이 360° 바뀌는데 그걸 직선이라고 하긴 좀 그렇죠.

원기둥을 세로로 한 줄 잘라서 펴 봐. 수평 원은 직사각형의 가로 선분이 돼.

민준 학생, 원기둥 위를 기어가는 개미는 3차원을 볼 수 있을까요? 방향이 360° 바뀌었다는 건 누가 본 거죠?

아니요, 발밑밖에 못 보죠. 360° 돈 건 바깥에서 본 방향이에요. 펴 놓으면 가로 선분이니까 개미는 한 번도 안 꺾은 거고… 셋 다 측지선이네요.

맞아요. 3차원에서 휘어 보이는 건 곡면이 휘어서지, 곡선이 방향을 튼 게 아니에요.

발표 자료에 그래프를 로그 스케일로 붙였더니 조교님이 "곡선이 휜 게 아니라 축이 휜 거"라고 하셨던 거랑 같네요.