같은 공간에 접속이 두 개?

출발 문제

앞 장들에서 우리는 레비-치비타 접속을 만났다. 계량이 주어지면 접속은 유일하게 결정된다 — 이것이 리만 기하학의 기본 정리였다. 그런데 정보기하학에 발을 들이면 이상한 일이 벌어진다. 같은 공간(확률분포의 매니폴드) 위에 “합의 길”(m-접속)과 “곱의 길”(e-접속)이라는 두 가지 서로 다른 접속이 등장하는 것이다.

잠깐, 이것이 가능한가? 레비-치비타 접속이 유일하다고 했는데, 같은 매니폴드 위에 다른 접속이 존재한다니. 모순이 아닌가? 이 질문을 풀기 위해서는 레비-치비타의 유일성 정리를 다시 들여다봐야 한다. 유일성은 두 가지 조건을 동시에 요구할 때 성립한다: (1) 계량 호환성(metric compatibility)과 (2) 비틀림 없음(torsion-free). 이 중 하나라도 포기하면 유일성은 깨진다.

그렇다면 m-접속과 e-접속은 이 두 조건 중 어떤 것을 포기한 것인가? 놀랍게도, 비틀림은 여전히 없다. 포기한 것은 계량 호환성이다. 하지만 완전히 포기한 것은 아니다 — 계량 호환성을 쌍으로 나누어 가진다. 한 접속이 잃은 것을 다른 접속이 보상하는 식이다. 이것이 쌍대 접속(dual connection)의 핵심 아이디어다.

패턴

레비-치비타 접속의 계량 호환성은 $X \cdot g(Y, Z) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z)$로 표현된다. 내적의 미분을 양쪽에 고르게 분배하는 것이다. 이제 이 "고른 분배"를 포기하고, 왼쪽과 오른쪽에 다른 접속을 허용하면 어떻게 될까?

여기서 $\nabla$와 $\nabla^*$는 서로 다른 접속이다. 이 등식을 만족하는 $\nabla^*$를 $\nabla$의 쌍대 접속이라 부른다. 직관적으로, $\nabla$가 내적의 한쪽을 “비틀어서” 보존하지 못하는 만큼을 $\nabla^*$가 반대쪽에서 정확히 보상한다. 마치 거울처럼, 한쪽의 비대칭을 다른 쪽이 반영한다.

$\nabla = \nabla^*$인 특수한 경우가 바로 레비-치비타 접속이다. 즉 레비-치비타는 “자기 자신이 쌍대인” 유일한 접속이다. 쌍대 접속 이론에서 레비-치비타는 사라지는 것이 아니라, 스펙트럼의 중심에 놓인다.

확률분포의 공간에서 이 구조가 자연스럽게 나타나는 이유는 확률분포를 결합하는 두 가지 근본적 방식 때문이다. 분포를 더하는 것(혼합, mixture)과 곱하는 것(지수적 결합, exponential). 덧셈이 자연스러운 좌표계에서의 직선이 m-측지선이고, 곱셈이 자연스러운 좌표계에서의 직선이 e-측지선이다. 이 두 "직선의 개념"이 정확히 쌍대 접속 쌍을 형성한다.

정리 (아마리-나가오카)

통계적 매니폴드 위에서, 피셔 계량 $g$와 더불어 3차 대칭 텐서 $C$(큐빅 텐서)가 자연스럽게 정의된다. 이 큐빅 텐서는 확률분포족의 "3차 비대칭"을 포착하며, 로그가능도의 3차 미분과 관련된다. 아마리와 나가오카는 이로부터 접속의 1-매개변수족을 구성했다:

여기서 $\nabla^{(0)}$은 레비-치비타 접속이고 $\alpha$는 실수 매개변수다. $\alpha = 0$이면 레비-치비타, $\alpha = 1$이면 e-접속, $\alpha = -1$이면 m-접속이다. 핵심 정리는 이것이다: $\nabla^{(\alpha)}$와 $\nabla^{(-\alpha)}$는 항상 피셔 계량에 대해 쌍대이다.

이것은 놀라운 통합이다. 무한히 많은 접속이 하나의 매개변수 $\alpha$로 연결되고, $\alpha = 0$(레비-치비타)을 중심으로 양쪽이 거울처럼 대응한다. 물리학에서 입자와 반입자가 쌍을 이루듯, 접속도 쌍을 이룬다.

더 나아가, 지수족(exponential family) 위에서 $\nabla^{(1)}$과 $\nabla^{(-1)}$은 모두 평탄(곡률이 0)이다. 즉 두 접속 모두에 대해 매니폴드가 “곧다”. 하지만 두 접속이 정의하는 "곧음"이 서로 다르다. 이 상태를 **쌍대 평탄(dually flat)**이라 부르며, 이것이 정보기하학의 가장 풍부한 구조를 낳는 토양이다.

정의

• 쌍대 접속 (거울 접속 / Mirror Connection, $\nabla$ and $\nabla^*$) — $g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla^*_X Z) = X \cdot g(Y,Z)$를 만족하는 접속 쌍. 레비-치비타 접속이 내적을 “혼자서” 보존한다면, 쌍대 접속은 “둘이서 함께” 보존한다. 한 접속이 비틀어 놓은 것을 쌍대 접속이 정확히 되돌린다. 모든 접속에는 유일한 쌍대가 존재하며, 레비-치비타는 자기 자신이 쌍대인 유일한 접속이다.

• $\alpha$-접속 ($\alpha$-기울기 비교기 / $\alpha$-Tilted Comparator) — 레비-치비타 접속에 큐빅 텐서의 $\alpha/2$배를 더한 접속. $\alpha = 0$이면 레비-치비타, $\alpha = 1$이면 e-접속(지수족의 자연 매개변수에서의 직선), $\alpha = -1$이면 m-접속(혼합 매개변수에서의 직선)이다. $\alpha$를 연속적으로 움직이면 접속이 부드럽게 변하며, 측지선의 모양도 e-측지선에서 레비-치비타 측지선을 거쳐 m-측지선으로 변형된다.

• 큐빅 텐서 (3차 비대칭 / Third-Order Asymmetry, $C$) — $\nabla^{(\alpha)} = \nabla^{(0)} + \frac{\alpha}{2}C$에서 접속족 전체를 결정하는 3차 대칭 텐서. 확률분포 공간에서는 로그가능도의 3차 모멘트에 해당한다. 큐빅 텐서가 0이면 모든 $\alpha$-접속이 레비-치비타와 일치하며, 쌍대 구조는 퇴화한다. 큐빅 텐서의 크기는 "레비-치비타로부터 얼마나 벗어나 있는가"를 측정한다.

• 쌍대 평탄 (양쪽 다 곧은 / Dually Flat) — $\nabla$와 $\nabla^*$가 모두 곡률 0인 경우. 각 접속에 대해 전역적 아핀 좌표계가 존재하며, 이 두 좌표계는 르장드르 변환으로 연결된다. 지수족이 대표적 예시다: 자연 매개변수 $\theta$는 e-접속에 대한 아핀 좌표이고, 기대 매개변수 $\eta$는 m-접속에 대한 아핀 좌표이며, 이 둘은 로그 분배함수의 르장드르 변환으로 연결된다. 열역학에서 에너지와 엔트로피가 르장드르 쌍인 것과 정확히 같은 구조다.

핵심 인물과 일화

아마리 순이치 (甘利俊一, Shun-ichi Amari, 1936–)

아마리 순이치의 이력은 특이하다. 그는 원래 신경과학자였다. 1960년대 도쿄대학에서 신경회로의 수학적 모델을 연구하던 그는, 신경망의 학습 과정을 기술하려면 매개변수 공간의 기하학적 구조를 이해해야 한다는 것을 깨닫는다.

1968년, 아마리는 확률분포의 공간에 리만 기하학을 적용하는 첫 논문을 발표한다. 피셔 정보행렬이 이 공간의 자연스러운 리만 계량이라는 사실은 이미 C. R. 라오(Rao)가 1945년에 지적했지만, 아마리는 더 나아갔다: 이 공간에는 레비-치비타 접속 외에도 자연스러운 접속이 있다.

핵심 발견은 1982년과 1985년의 논문들에서 나온다. 아마리는 지수족(exponential family)에서 두 종류의 "직선"이 자연스럽게 나타남을 관찰한다:

• m-측지선: 확률분포의 합(혼합, mixture)으로 정의되는 직선
• e-측지선: 확률분포의 곱(지수적 결합)으로 정의되는 직선

이 두 종류의 직선은 서로 다른 접속 — m-접속과 e-접속 — 에 대한 측지선이다. 레비-치비타 접속은 이 둘의 정확한 중간에 위치한다 ($\alpha = 0$). 더 놀라운 것은, m-접속과 e-접속이 피셔 계량에 대해 쌍대라는 것이다.

나가오카 히로시 (長岡浩司, Hiroshi Nagaoka)

아마리의 제자 나가오카 히로시는 이 쌍대 구조를 엄밀하게 공리화하는 데 결정적 기여를 했다. 1993년 아마리와 나가오카가 공저한 교과서 *정보기하학의 방법(情報幾何の方法)*은 이 분야의 표준 참고서가 되었다 (2000년 영문판 Methods of Information Geometry 출간).

아마리-나가오카의 정리는 이렇게 요약된다: 리만 계량 $g$와 3차 대칭 텐서 $C$가 주어지면, 매개변수 $\alpha$로 연결되는 접속족 $\nabla^{(\alpha)}$가 정의되며, $\nabla^{(\alpha)}$와 $\nabla^{(-\alpha)}$는 항상 쌍대이다. 이 구조는 확률분포의 공간에 특유한 것이 아니라, 쌍대 평탄 구조를 가진 모든 매니폴드에 적용된다.

신경과학에서 출발하여 통계학을 거쳐 미분기하학에 도달한 이 여정은, 수학이 어떻게 분야의 경계를 넘어 성장하는지를 보여주는 전형적인 사례다.

시각화 아이디어

• 두 종류의 직선: 확률 심플렉스 위에서 m-측지선과 e-측지선을 같은 그림에
• 빛의 혼합 vs 물감의 혼합: RGB 혼합(합의 길)과 필터 중첩(곱의 길)

• $\alpha$-슬라이더: $\alpha$를 -1에서 +1까지 움직이면 측지선이 변하는 애니메이션

연결되는 세계들