좌표 하나로는 지구를 담을 수 없다

출발 문제

오렌지 하나를 떠올려 보자. 껍질을 벗겨서 식탁 위에 평평하게 펴려고 하면 어떻게 되는가? 반드시 찢어진다. 억지로 펼치면 어딘가가 겹치고, 어딘가가 늘어나고, 어딘가가 구겨진다. 구면의 껍질을 평면 위에 왜곡 없이 펼치는 것은 불가능하다.

지도 제작자들은 이 사실을 수백 년간 체감해 왔다. 16세기 항해가들에게 정확한 세계지도는 생사의 문제였다. 1569년, 플랑드르의 지리학자 헤라르뒤스 메르카토르(Gerardus Mercator)는 유명한 메르카토르 도법을 발표한다. 이 지도에서 항해사는 직선으로 코스를 그으면 되므로 항해에 편리했다. 하지만 대가가 있었다 — 그린란드가 아프리카와 비슷한 크기로 보인다. 실제로는 아프리카가 14배 넓다.

메르카토르 도법만의 문제가 아니다. 어떤 도법을 쓰든 왜곡은 피할 수 없다. 면적을 보존하면 각도가 틀어지고, 각도를 보존하면 면적이 뒤틀린다. 거리, 면적, 각도를 동시에 보존하는 세계지도는 존재하지 않는다. 이것은 취향의 문제가 아니라 수학적 불가능성이다.

그런데 이상한 점이 있다. 세계지도에서는 그린란드가 저렇게 부풀어 오르는데, 우리나라 지도나 동네 지도를 펼쳐 놓고 왜곡을 느껴 본 적이 있는가? 좁은 지역만 그린 지도에서는 왜곡이 거의 눈에 띄지 않는다. 왜곡이 심해지는 것은 지구 전체를 한 장에 억지로 담으려 할 때다.

그렇다면 이렇게 해 볼 수 있지 않을까? 넓은 땅을 한 장에 담지 말고, 왜곡이 거의 없는 작은 지도를 여러 장 이어 붙여서 지구 전체를 덮는 것이다. 완벽한 지도 한 장은 불가능해도, 여러 장의 불완전한 지도로는 가능할지 모른다.

매니폴드: 어디를 확대해도 평면인 공간

여러 장의 지도로 나누어 담으려면, 먼저 지도 한 장이 맡을 조각이 평면처럼 다뤄질 수 있어야 한다. 앞에서 좁은 지역의 지도는 왜곡이 거의 없다고 했다. 이 느낌을 조금 더 정확히 말해 보자.

각 조각은 평면처럼 다룰 수 있다. 충분히 작은 영역에서는 지구 표면이 사실상 평평하다. 동네 지도에서 땅의 곡률(휘어진 정도)을 느끼는 사람은 없다.

지구 표면만 그런 것이 아니다. 어느 점에서든 그 둘레만 확대해 보면 평면과 구별할 수 없는 공간은 많다. 이런 공간을 하나의 개념으로 묶어 낸 사람이 있다.

역사: 베른하르트 리만 (Bernhard Riemann, 1826–1866)

1854년 6월 10일, 괴팅겐 대학교. 스물일곱 살의 수학자 베른하르트 리만이 교수자격 취득을 위한 강연 무대에 선다. 청중 속에는 그의 스승이자 당대 최고의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 앉아 있다.

관례상 후보자는 세 가지 주제를 제안하고, 심사위원회가 그중 하나를 고른다. 리만은 세 번째 주제를 "기하학의 기초에 놓여 있는 가설에 대하여(Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen)"라고 적어 넣었다. 앞의 두 주제는 이미 준비해 두었고, 그중 하나가 뽑히기를 바랐다. 그런데 가우스가 정확히 세 번째 주제를 골랐다. 리만은 형제에게 보낸 편지에 "다시 좀 곤란해졌다"고 적었고, 이듬해 봄에야 이 주제를 붙들고 강연 원고를 썼다. 그렇게 수학사에서 가장 영향력 있는 강연 중 하나가 탄생한다.

리만의 핵심 통찰은 이것이었다: 유클리드 기하학은 기하학의 유일한 형태가 아니다. 공간이란 국소적으로(한 점 가까이만 보면) 좌표를 붙일 수 있는 임의의 대상이며, 그 위에서 거리와 곡률은 장소마다 달라질 수 있다. 이 강연에서 리만은 오늘날 우리가 "매니폴드"라고 부르는 개념의 씨앗을 뿌렸다 — 전체를 하나의 좌표로 덮을 수 없지만, 조각마다 좌표를 붙이고 조각 사이의 번역 규칙을 정하면 되는 공간.

가우스는 이 강연을 듣고 교수회에서 돌아오는 길에 동료 물리학자 빌헬름 베버(Wilhelm Weber)에게 "깊은 감명을 받았다"고 말했다고 전해진다. 하지만 리만의 아이디어가 물리학에서 꽃을 피우려면 60년이 더 필요했다 — 1915년, 아인슈타인이 일반상대성이론에서 시공간을 4차원 매니폴드로 나타냈을 때.

리만 자신은 결핵으로 서른아홉에 세상을 떠났다. 그가 남긴 강연 원고는 수식을 거의 쓰지 않은 짧은 글이었지만, 그 안에는 이후 150년간 전개될 미분기하학이 풀어 갈 연구 계획 전체가 담겨 있었다.

확대하면 평면: 매니폴드의 정의

리만이 씨앗을 뿌린 개념을 오늘날의 말로 적으면 다음과 같다.

• 매니폴드 (확대하면 평면인 공간 / Manifold) — 각 점 둘레가 $\mathbb{R}^n$처럼 생긴 공간. 지구 표면은 2차원 매니폴드이다: 어느 점이든 둘레를 보면 평면과 구별할 수 없다. $n$을 매니폴드의 차원이라 한다.

$\mathbb{R}^n$은 「알 엔」이라 읽고, 실수 $n$개를 늘어놓아 점 하나를 가리키는 공간이다. $\mathbb{R}$은 실수(real number)의 머리글자다. $n = 1$이면 직선, $n = 2$이면 평면이다.

ML에서: 매니폴드 가설

64×64 픽셀 얼굴 이미지 한 장은 픽셀값 4,096개, 곧 4,096차원 공간의 점 하나다. 그런데 한 얼굴을 고개 방향과 조명만 바꿔 가며 만든 이미지들은 이 넓은 공간을 고르게 채우지 않는다. 테넨바움(J. Tenenbaum) 등이 2000년 『사이언스』에 발표한 Isomap 논문은 이런 얼굴 이미지 698장이 좌우 고개 방향, 상하 고개 방향, 조명 방향이라는 숫자 3개로 거의 다 설명된다는 것을 보였다. 고차원 데이터가 실제로는 저차원 매니폴드 위(또는 그 가까이)에 놓여 있다는 이 생각을 매니폴드 가설(manifold hypothesis)이라 한다.

여기서 매니폴드 위를 움직이는 것은 데이터 점이다. 이미지 한 장 근처에서 고개 방향을 조금씩 바꾸면 이미지는 평평한 3차원 조각 위를 움직이는 것처럼 보인다. 하지만 동네 지도가 평평하다고 지구가 평평한 것은 아니듯, 그 조각들이 모여 전체로 어떤 모양을 이루는지는 따로 따져야 한다.

문제 1 — 동네 땅은 얼마나 평평한가

같이 풀기 세션 1

계산기로 1 km부터 해 봤어요. 판보다 7.8 cm 아래예요. 그러면 10 km는 78 cm, 100 km는 7.8 m겠네요. 떨어진 거리에 비례할 테니까요.

비례한다면 지구 반대편은 어떨까요? 땅을 따라 2만 km쯤 가면 되는데요.

2만 km면 7.8 cm의 2만 배, 1.6 km쯤이요. 어… 지구 반대편은 지름만큼, 1만 2천 km 넘게 아래에 있어야 하잖아요. 비례가 아니네요.

판에서 처진 높이는 반지름 × (1 − cos(가운데에서 잰 각도))야. 각도가 작으면 $1 - \cos x$는 $x^2/2$쯤이니까, 처짐은 거리의 제곱에 비례해. 거리가 10배면 처짐은 100배. 10 km에서 7.8 m, 100 km에서 785 m.

그럼 처진 높이를 거리로 나눈 비율은요?

1 km에서 0.0078%, 10 km에서 0.078%, 100 km에서 0.78%요. 거리를 10분의 1로 줄이면 비율도 10분의 1로 줄어요. 동네를 좁힐수록 판과 땅의 차이가 차지하는 몫이 끝없이 작아지네요.

「확대하면 평면」을 숫자로 잰 셈이에요. 정의가 요구하는 것은 확대한 모양이 평면과 같은 꼴이라는 것이고, 이 비율은 그 느낌이 어디서 오는지 보여 줘요.

해석학 시간에 0 근처에서 코사인을 $1 - x^2/2$로 근사했던 거네. 제곱 항은 $x$보다 훨씬 빨리 작아지니까, 가까이 볼수록 곧은 부분만 남는 거고.

문제 2 — 숫자 8은 매니폴드인가

확인 다음 중 매니폴드가 아닌 것은? (가) 원 (나) 숫자 8 모양의 곡선 (다) 구면 (라) 가장자리를 뺀 원판

같이 풀기 세션 2

네 개 중에 매니폴드가 아닌 걸 골라 볼까요?

다 매니폴드 아니에요? 8자는 원 두 개를 붙인 거잖아요. 원이 매니폴드면 두 개 붙여도 매니폴드일 것 같은데요.

붙인 자리가 걸리는데. 가운데 교차점을 확대하면 선이 네 갈래로 뻗어 있잖아.

서연 학생 말대로 확대해 봅시다. 민준 학생, 원 위의 아무 점이나 아주 작게 확대하면 뭐가 보여요?

짧은 선분이요. 양쪽으로 한 줄씩 뻗은 거요.

8자의 교차점을 확대하면요?

아, X자네요. 선분이랑 X는 다르죠. 선분에서 가운데 한 점을 빼면 두 조각인데, X에서 가운데를 빼면 네 조각이 되니까요.

바로 그거예요. 매니폴드는 모든 점에서 확대한 모양이 $\mathbb{R}^n$과 같아야 해요. 한 점이라도 다르면 탈락이에요. 답은 (나)예요.

조별 보고서 같네요. 다른 절이 다 멀쩡해도 한 사람이 맡은 절이 양식이 다르면 조교가 바로 돌려보내잖아요.

하나만 더 해 봅시다. (라)는 가장자리를 뺀 원판이었어요. 그럼 가장자리까지 넣은 원판은 매니폴드일까요?

테두리 한 줄 더 붙였을 뿐인데요. 안쪽은 그대로 평면이니까 매니폴드 아닐까요?

테두리 위의 점을 확대하면 좀 이상한데. 한쪽은 원판 안이고, 반대쪽은 아무것도 없잖아. 평면이 아니라 반쪽짜리 평면이야.

맞아요. 테두리 위의 점 둘레를 아주 작게 확대하면, 곧은 경계선 한 줄을 끼고 한쪽만 있는 반평면이 보여요. 안쪽 점에서는 어느 방향으로든 조금씩 움직일 수 있는데, 테두리 점에서는 바깥쪽으로 한 걸음만 가도 원판을 벗어나요.

그래도 반평면이랑 평면이 정말 다른 건지는 모르겠어요. 아까처럼 점 하나 빼고 조각 수를 세서 구별할 수 있어요?

2차원에서 바로 하기는 까다로우니 한 차원 내려가 봐요. 양 끝을 포함한 선분 $[0, 1]$에서 끝점 $0$ 둘레를 확대하면 뭐가 보여요?

$0$에서 오른쪽으로만 뻗은 반직선이요. 거기서 $0$을 빼면… 한 조각 그대로네요. 직선은 어느 점을 빼든 두 조각인데.

그럼 끝점 둘레는 직선과 모양이 다른 거네요. 가장자리를 포함한 원판도 테두리 점마다 같은 일이 한 차원 올라가서 일어나는 거고요.

그래요. 그래서 가장자리를 포함한 원판은 매니폴드가 아니에요. 테두리 점에서 확대한 모양이 $\mathbb{R}^2$가 아니라 반평면이니까요. (라)에서 굳이 가장자리를 뺀 이유가 이거예요. 이렇게 가장자리 점에서만 반평면처럼 생긴 공간은 경계가 있는 매니폴드라는 이름으로 따로 다뤄요.

문제 3 — 돌린 손글씨 숫자가 그리는 모양

같이 풀기 세션 3

784차원 공간 안이지만 돌리는 손잡이는 각도 하나니까 1차원이죠. 0°에서 시작해서 360° 가까이까지 가니까 양 끝이 있는 선분이에요. 네 후보에는 선분이 없네요.

360° 돌린 이미지는 처음 이미지랑 똑같잖아. 픽셀값 784개가 하나도 안 다르니까 784차원 공간에서 같은 점이야.

그럼 359°짜리 이미지는 어디쯤 있을까요?

1°만 더 돌리면 처음 이미지가 되니까… 0°짜리 바로 옆이에요. 끝이 처음으로 돌아와 붙네요. 선분이 아니라 원이에요, (가)요.

원은 어느 점을 확대해도 짧은 선분이었죠. 그러니 매니폴드예요. (2)는요?

−15°에서 +15°까지면 이번엔 정말 양 끝이 있는 선분이에요. 선분도 곧은 선이니까 매니폴드고요.

끝점이 걸리는데. −15°짜리 이미지 둘레를 확대하면 한쪽으로만 뻗어 있어. 원판 테두리에서 본 반쪽짜리 모양이랑 같아.

그래요. 양 끝을 넣은 선분은 끝점에서 반직선이 보이니까, 원판 테두리처럼 경계가 있는 매니폴드예요. 돌리는 범위를 한 바퀴로 넓히면 두 끝이 서로 붙어 경계가 사라지고요.

조교가 과제에서 360° 다 돌려서 데이터를 늘리면 6이랑 9가 헷갈린다고 ±15°만 쓰라고 했거든요. 그게 경계 있는 선분을 고른 거였네요.