자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
땅이 판에서 처지는 높이가 거리에 비례한다고 봄	1	처짐은 거리의 제곱에 비례한다. 처짐을 거리로 나눈 비율은 거리와 함께 줄어, 가까이 볼수록 평면과 구별되지 않는다
부품(원)이 매니폴드이면 붙인 것도 매니폴드라고 봄	2	붙인 자리까지 모든 점을 확대해 본다. 8자의 교차점은 선분이 아니라 X자
안쪽이 평면이면 가장자리를 붙여도 매니폴드라고 봄	2	테두리 점도 확대해 본다. 가장자리를 포함한 원판의 테두리 점은 평면이 아니라 반평면
한 바퀴 돌린 이미지들을 양 끝이 있는 선분으로 봄	3	360° 돌린 이미지는 처음 이미지와 같은 점이다. 두 끝이 붙어 원이 된다
양 끝을 넣은 선분을 경계 없는 매니폴드로 봄	3	끝점을 확대하면 반직선이다. 원판 테두리처럼 경계가 있는 매니폴드
사진·타일의 전체 폭으로 나눠 장수를 셈	4, 6	쓸 수 있는 가운데 폭으로 나눈다
쓸 수 있는 폭으로 딱 나눠떨어지면 그 장수로 충분하다고 봄	4	가장자리를 뺀 조각끼리 딱 맞으면 이음매가 빠진다. 조금이라도 겹쳐야 한다
경계를 뺀 반구 두 장, 세 장이면 구면이 덮인다고 봄	5	두 장이면 적도가, 세 장이면 두 방향에 수직인 점이 빠진다. 열린 반구는 최소 네 장
어림 번역 규칙의 차이를 일정한 작은 오차로 봄	7	가는 길마다 답이 달라지면 같은 값이 여러 숫자로 적힌다. 번역 규칙끼리 모순이 없어야 한다
전이함수에서 나눌 것을 곱함	8	적도는 두 차트 모두에서 단위원 위. 안팎이 뒤집히는지로 검산한다
차트에 없는 점(북극)에 극한으로 좌표를 붙이려 함	8	그 점은 다른 차트( $\textcolor{#3949ab}{\varphi_S}$ )가 맡는다
좌표 범위 밖의 점( $v = 0$ )을 들어 전이함수가 매끄럽지 않다고 봄	9	표준편차가 0인 분포는 공간에 없다. 좌표 범위 안에서만 따진다
연속이고 일대일이면 두 차트가 호환된다고 봄	9	거꾸로 가는 번역의 미분이 끝없이 커지는 자리가 있으면 호환되지 않는다
화면 B 좌표를 구할 때 5를 더하기만 해서 10을 넘김	10	화면 좌표는 0~10 안에 있어야 한다. 5보다 작으면 더하고, 크면 뺀다
원 두 개를 짝지으면 구면이라고 봄	11	두 원은 따로 한 바퀴씩 돈다. 원 두 개를 짝지은 공간은 토러스
잘라서 펴면 차트 한 장이라고 봄	12	차트는 열린 집합으로 일대일. 자른 솔기 한 줄이 빠진다
부품(원 × 구간)의 차트 수를 전체에 그대로 가져옴	12	전체 모양으로 따진다. 원기둥은 고리 하나로 덮인다
한 장이 안 되는 이유를 "둥글어서"로 봄	12	이유는 컴팩트성. 구면은 닫혀 있어서 한 장으로 안 된다
실수 전체에서 최댓값 정리로 가장 작은 손실이 있다고 봄	13	정리는 컴팩트한 곳에서만 쓴다. 실수 전체는 유계가 아니라 손실이 0에 다가가기만 하고 닿지 않는다

요약

구면은 지도 한 장에 왜곡 없이 담을 수 없다. 대신 어느 점이든 둘레를 확대하면 평면처럼 보이므로(매니폴드), 조각마다 차트를 붙이고 차트들로 전체를 덮은 아틀라스와 겹치는 곳의 전이함수로 공간 전체를 나타낸다. 전이함수가 모두 매끄러우면 매끄러운 아틀라스다. 원이나 구면처럼 컴팩트한 공간은 차트 한 장으로 덮을 수 없지만, 위아래가 열린 원기둥처럼 컴팩트하지 않은 공간은 한 장으로 덮일 수도 있다.

연결되는 세계들

분야	연결
위상수학	매니폴드의 위상적 분류, 오일러 특성수, 호몰로지
물리학	일반상대론의 시공간 = 4차원 유사-리만 매니폴드
데이터 과학	매니폴드 가설: 고차원 데이터는 저차원 매니폴드 위에 놓여 있다
로보틱스	관절 로봇의 관절 각도를 모은 공간(배위공간, configuration space)은 매니폴드
통계학	확률분포의 모임 = 통계적 매니폴드

막힌 곳

이제 우리는 곡면 위의 점에 좌표를 붙이고, 지도를 바꿀 때 좌표를 번역할 수 있다. 그런데 점이 움직이기 시작하면 어떻게 될까? 곡면 위를 기어가는 개미의 속도는 어느 차트의 좌표로 말해야 하고, 차트를 바꾸면 그 속도는 어떻게 번역될까? 이 질문에는 아직 답하지 못했다.