좌표 하나로는 지구를 담을 수 없다

토러스: 팩맨 화면을 두 장의 지도로

전이함수를 구면에서만 보았다. 차트 두 장이 겹치는 곳에서 좌표를 번역한다는 생각이 구면 말고 다른 공간에서도 그대로 통할까? 뜻밖에도 익숙한 곳, 오락실 게임 화면에 좋은 예가 있다.

역사: 화면 끝이 반대편 끝으로 이어진 게임

1979년 아타리의 게임 「애스터로이드(Asteroids)」에서는 우주선이 화면 오른쪽 끝으로 나가면 왼쪽 끝에서, 위쪽 끝으로 나가면 아래쪽 끝에서 다시 나타났다. 화면 가장자리에 벽을 세우는 대신 맞은편 가장자리와 이어 붙인 것이다. 이듬해 남코의 「팩맨(Pac-Man)」은 미로 양옆에 통로를 뚫어, 왼쪽 통로로 나간 팩맨이 오른쪽 통로로 들어오게 했다. 게임을 만든 사람들은 좁은 화면을 끝없이 넓어 보이게 하려고 이 방법을 썼지만, 수학으로 보면 이들은 평평한 직사각형 화면으로 전혀 다른 공간을 만든 셈이다.

감기 규칙과 두 화면

좌우와 위아래가 모두 이어진 화면을 생각하자. 오른쪽 끝과 왼쪽 끝을 붙이면 화면은 원기둥이 되고, 그 원기둥의 위쪽 끝과 아래쪽 끝을 다시 붙이면 도넛 표면이 된다.

• 토러스 (도넛 표면 / Torus) — 직사각형의 오른쪽 변과 왼쪽 변, 위쪽 변과 아래쪽 변을 각각 이어 붙여 만든 곡면. 팩맨이 실제로 사는 공간이다.

화면을 가로 0~10, 세로 0~10의 좌표로 읽으면 화면은 토러스의 차트 한 장이다. 이 차트를 $\textcolor{#3949ab}{\varphi_A}$라 하자. 그런데 화면 가장자리, 곧 이어 붙인 이음매 위의 점에는 좌표를 하나로 정할 수 없다. 오른쪽 끝의 10과 왼쪽 끝의 0이 같은 자리이기 때문이다. 그래서 차트 $\textcolor{#3949ab}{\varphi_A}$는 이음매를 뺀 열린 정사각형 안쪽만 맡는다.

빠진 이음매는 카메라를 옮긴 두 번째 화면으로 채운다. 화면 A를 가로·세로로 5칸씩 옮겨 찍은 화면 B를 만들면, 화면 A의 이음매가 화면 B에서는 한가운데 십자로 들어온다. 두 화면이 겹치는 곳에서 화면 A의 좌표를 화면 B의 좌표로 바꾸는 전이함수는 다음과 같다. 세로 좌표 $\textcolor{#1b9e77}{y}$에도 같은 규칙을 쓴다.

$\textcolor{#1b9e77}{x} = 5$인 세로줄은 화면 B의 이음매라서 겹치는 곳에 들어가지 않는다. 겹치는 곳은 두 화면의 이음매를 모두 뺀 네 조각이고, 조각마다 전이함수는 5를 더하거나 빼서 좌표를 통째로 미는 것이라 무한히 미분 가능하다. 구면에서 반전이 하던 일을 토러스에서는 통째로 밀기가 한다.

아래 도구에서 화면 A, 화면 B, 토러스를 함께 볼 수 있다. 팩맨을 끌거나 좌표를 직접 넣어 보고, 이음매를 넘을 때 어느 화면의 좌표가 튀는지 지켜보자.

문제 10 — 팩맨의 두 화면 좌표

풀이를 마친 뒤 위 도구의 「문제 10 불러오기」를 누르고, 화면 A 좌표를 직접 넣거나 → 버튼으로 한 칸씩 옮기면서 자기 답과 비교해 보자.

같이 풀기 세션 10

(1)은 쉬워요. 5씩 더하면 되니까 $(13, 8)$이요.

화면이 0부터 10까지인데 13이 어디 있어? 8은 5보다 크니까 빼야지. $8 - 5 = 3$, $3 + 5 = 8$이라서 $(3, 8)$.

도구에 $(8, 3)$을 넣어 보면 화면 B의 팩맨이 가로 3, 세로 8에 있어요. 민준 학생, 13칸째가 없으면 팩맨은 어디로 가죠?

10에서 한 바퀴 돌아서 3이요… 결국 서연이 답이랑 같네요. 원형 버퍼에서 인덱스에 % n 안 붙였다가 배열 밖을 읽은 거랑 똑같은 실수예요.

(2)로 가 봅시다. 오른쪽으로 3칸 가면요?

화면 A에서는 $8 \to 9 \to 10$을 지나서 $(1, 3)$이 돼요. 화면 B에서는 $3 \to 6$이니까 $(6, 8)$이고요. 화면 A에서는 가로 좌표가 9 다음에 갑자기 0 근처로 떨어져요.

도구에서 → 버튼을 세 번 누르니까 화면 A의 자취만 오른쪽 끝에서 끊기고 ✕가 찍혀요. 화면 B의 자취는 한 줄로 이어지고요. 토러스 위에서는 당연히 한 줄이고.

팩맨은 매끄럽게 걸었는데 화면 A의 숫자가 튄 거예요. 튄 건 팩맨이 아니라 화면 A의 이음매예요. 그 자리를 지날 때는 화면 B로 보면 되고요. 그럼 (3), 두 화면 어디에도 없는 점은요?

화면 A에는 이음매 두 줄, 가로 0인 세로줄과 세로 0인 가로줄이 빠져요. 화면 B에는 화면 A 기준으로 가로 5인 세로줄과 세로 5인 가로줄이 빠지고요. 두 화면에 다 없으려면 빠진 줄끼리 만나야 하니까… 가로 0이면서 세로 5인 점, 가로 5이면서 세로 0인 점, 두 개예요.

잠깐, 가로 0, 세로 5면 화면 왼쪽 끝 한가운데잖아요. 팩맨 그림에서 좌우 통로 입구예요! 가로 5, 세로 0은 위아래 통로 입구고요. 게임에서 제일 자주 지나다니는 자리가 두 화면 어디에도 안 보이는 거네요.

도구에 $(0, 5)$를 넣어 보면 두 화면 모두에서 팩맨이 점선 동그라미로만 남아요. 그래서 토러스를 빠짐없이 덮으려면 화면이 하나 더 필요해요. 예를 들어 화면 A를 가로·세로 2.5칸씩 옮긴 화면 C는 이음매가 2.5에 있으니 통로 입구 두 점을 모두 담아요.

구면은 두 장이면 됐는데, 토러스는 이렇게 옮긴 화면으로는 두 장으로 모자라네요.

문제 11 — 23시와 1시는 얼마나 가까운가

같이 풀기 세션 11

(1)은 22시간이랑 2시간이요. 23시와 1시가 11시와 13시보다 열한 배나 멀다고 나오네요. 실제로는 둘 다 두 시간 차이인데.

화면 A의 이음매랑 같아. 24시에서 0시로 넘어가는 자리에서 숫자가 튀는 거지.

그래서 (2)처럼 숫자 두 개로 넣어요. 계산해 볼래요?

23시는 각도로 345°, 1시는 15°라서 두 점은 단위원 위에서 30° 떨어져 있어요. 그 거리는 $2\sin 15° = 0.518$. 11시와 13시도 30° 차이라 똑같이 0.518이요. 이제 이음매에서 튀지 않아요.

숫자 두 개는 원을 평면 위에 그대로 올려놓은 거예요. 원 위에서 가까운 두 점은 평면에서도 가깝죠. (3)은요?

원이 두 개니까… 구면이요?

시각은 시각대로, 풍향은 풍향대로 따로 한 바퀴씩 돌아. 23시에서 0시로 넘어가도 풍향은 그대로고. 팩맨이 좌우로 넘어가는 것과 위아래로 넘어가는 게 따로였던 것처럼. 그러니까 토러스야.

맞아요. 원 두 개를 짝지은 공간이 토러스예요. 구면이라면 경도 한 바퀴가 극에서 한 점으로 오그라들지만, 시각과 풍향은 어느 쪽도 한 점으로 오그라들지 않아요.

과제에서 요일을 월요일 0부터 일요일 6까지 숫자로 넣었다가 일요일과 월요일이 제일 먼 사이로 나왔는데, 조교가 sin, cos로 바꾸라고 했던 게 이거였네요.