자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
지나는 순간의 빠르기를 그 뒤의 움직임(브레이크)으로 짐작함	1	한 점의 접선벡터는 그 순간의 빠르기만 담는다. 아주 짧은 시간 동안 간 거리로 확인한다
같은 길을 지나는 곡선이면 같은 접선벡터로 봄	2	다이얼마다 그 순간의 빠르기를 적어 견준다. 같은 길이라도 두 배로 빠르거나 거꾸로 가면 다른 화살표다
함수 하나로 잰 빠르기가 같으면 같은 묶음으로 봄	2	같은 묶음이면 어떤 함수로 재도 같지만, 거꾸로는 함수 하나로 모자란다. 다이얼 빠르기를 모두 맞춰 본다
바뀐 점(바뀐 이미지)을 접선벡터로 봄	3	접선벡터는 곡선을 $t$ 로 미분한 움직이는 방향이다. 방향미분은 점수가 변하는 빠르기다
방향을 숫자가 아닌 것으로 빼고 셈	4	방향도 각도 하나로 적힌다. 곡면 위 한 점의 상태는 위치 둘 + 속도 둘
성분의 개수를 차원으로 봄	5	법선과 수직이라는 조건을 빼고 자유롭게 고를 수 있는 수를 센다. $T_pS^2$ 는 2차원, $TS^2$ 는 여섯 숫자에 조건 둘이라 4차원
길이가 그대로면 새 점에서도 쓸 수 있는 속도로 봄	6	접선공간에 들어 있는지는 법선과의 내적으로 본다. 삐져나온 몫을 빼서 새 점의 접선공간으로 옮긴다
기저(지폐)가 작아지면 성분(장수)도 작아진다고 봄	7	기저와 성분은 반대로 변한다. 지폐 값 × 장수가 그대로여야 한다
야코비 행렬을 거꾸로 씀	8, 9, 11	새 성분은 새 좌표를 옛 좌표로 미분한 $\partial \textcolor{#1b9e77}{\tilde x^i}/\partial \textcolor{#1b9e77}{x^j}$ 로 만든다. 성분을 기저에 곱해 다시 더하거나, 조금 움직여 실제 변화를 재어 검산한다
좌표 기저 $\textcolor{#1f77b4}{\partial_\theta}$ 를 단위벡터 $\hat\theta$ 로 봄	8	좌표 기저는 "좌표 한 칸"이지 "길이 1"이 아니다. 평면 극좌표의 $\textcolor{#1f77b4}{\partial_\theta}$ 길이는 $\textcolor{#1b9e77}{r}$
단위를 바꿀 때 「한 단위마다 변하는 양」을 걸음처럼 바꿈	10, 12	눈금자의 성분은 화살표의 성분과 반대로 변한다. 곱한 값이 그대로인지 확인한다
$\delta^i_j$ 를 다른 좌표계의 눈금자와 화살표 사이에 씀	11	$\textcolor{#a100c1}{dx^i}(\textcolor{#1f77b4}{\partial_j}) = \delta^i_j$ 는 같은 좌표계끼리의 약속이다. 다른 좌표계의 화살표는 눈금자를 그 좌표로 풀어 적은 뒤 넣는다
같은 학습률이면 어느 좌표에서든 같은 곳에 간다고 봄	12	그래디언트는 눈금자다. 좌표를 바꾸면 걸음이 달라진다( $\textcolor{#1b9e77}{\sigma}$ 좌표와 $\log\textcolor{#1b9e77}{\sigma}$ 좌표 사이에서는 $\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2$ 배)
자리마다 속도가 정해진 흐름에서 뒤따르는 것이 앞지를 수 있다고 봄	13, 15	같은 순간 같은 자리에 오면 그 뒤로는 같이 움직인다. 1차원에서는 순서가 바뀌지 않는다
극을 피한 격자만 보고 연속 벡터장이라고 봄	14	좌표가 무너지는 점(극)에서 벡터장이 정의되는지부터 본다
닫힌 곡면이면 모두 가마가 생긴다고 봄	14	모공정리는 짝수 차원 구면의 정리다. 도넛은 가마 없이 빗을 수 있다

요약

곡면 위를 움직이는 점의 속도는 곡면 자체가 아니라 각 점에 붙은 평평한 벡터공간, 곧 접선공간 $T_pM$ 에 산다. 접선벡터는 바깥 공간 없이도 한 점에서 같은 빠르기로 지나가는 곡선들의 묶음으로 정의되고, $T_pM$ 은 $\dim M$ 차원이다. 모든 점의 접선공간을 모은 접선다발 $TM$ 은 위치와 속도를 함께 담는 $2\dim M$ 차원 매니폴드다. 좌표를 잡으면 좌표 기저 $\textcolor{#1f77b4}{\partial_i}$ 로 화살표를 성분으로 적을 수 있고, 좌표를 바꾸면 성분은 야코비 행렬로 번역된다. 화살표를 받아 숫자를 내는 눈금자(여접벡터, 1-형식)는 기저 $\textcolor{#a100c1}{dx^i}$ 로 적고, 그 성분은 화살표 성분과 반대로 변한다. 점마다 화살표를 하나씩 붙인 것이 벡터장이며, 짝수 차원 구면 위의 연속 벡터장은 반드시 어딘가에서 0이 된다.

연결되는 세계들

분야	연결
미분방정식	벡터장의 적분곡선 = 미분방정식의 해
물리학	상태공간(위치–운동량 공간, phase space)은 여접다발 $T^*M$
기계학습	매개변수 공간에서의 그래디언트 = 여접벡터(눈금자), 한 걸음 = 접선벡터(화살표)
유체역학	유체의 속도장 = 매니폴드 위의 벡터장
위상수학	모공정리: 짝수 차원 구면의 벡터장은 영점이 반드시 존재

막힌 곳

좌표 기저 $\partial_\phi$ 의 길이가 $\sin\theta$ 라고 했지만, 그 길이는 구면을 3차원 공간에 넣어 두고 잰 것이었다. 구면 안에서만 사는 개미는 화살표의 방향과 성분은 말할 수 있어도, 그 화살표가 얼마나 긴지, 두 화살표가 몇 도로 벌어졌는지는 아직 잴 수 없다. 또 그래디언트라는 눈금자를 한 걸음이라는 화살표로 바꾸려면 무엇이 더 있어야 할까? 이 장의 도구만으로는 답하지 못했다.