자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
방향마다 한 칸의 길이가 다른데 칸 수로 거리를 재거나 원을 그림	1	칸을 먼저 실제 길이(픽셀)로 바꾼 뒤 피타고라스 정리를 쓴다
좌표 성분에 평면 공식(`norm`)을 그대로 써서 길이를 잼	2	길이는 $\sqrt{g_{ij} w^i w^j}$ . 계량 행렬을 끼운다
길이는 계량으로 재고 각도는 그림에서 읽음	2	코사인도 내적이다. $\cos\alpha = g(v, w)/(\lvert v\rvert\,\lvert w\rvert)$
마할라노비스 거리에서 벗어난 양을 $\Sigma^{-1}$ 에 한 번만 곱함	3	$d^2 = \Delta x^\top \Sigma^{-1} \Delta x$ . 단위를 바꿔도 값이 그대로인지로 확인한다
구간마다 경사가 다른 길을 양 끝만 이어 피타고라스 한 번으로 잼	4	구간마다 그 자리의 자로 재서 더한다
구면좌표의 $\theta$ 자리에 위도를 넣음	5	$\theta$ 는 북극에서 잰 각(여위도). 위도 38도는 $\theta = 52^\circ$
매개변수 공간의 한 칸이 어느 방향으로나 같은 길이라고 봄	6	피셔 계량 $\mathrm{diag}(1/\sigma^2,\ 2/\sigma^2)$ 로 잰다. $\sigma$ 쪽 한 칸이 $\sqrt2$ 배 길다
한 자리의 눈금으로 사진 전체의 길이를 잼	7	눈금이 자리마다 다르면 자리마다 재서 더한다(적분)
수치 적분 경고를 무시하고 끝을 잘라 유한한 값으로 봄	8	원시함수 $\ln\frac{1+r}{1-r}$ 로 $r \to 1$ 극한을 본다. 무한대로 간다
그림 속 원판의 넓이 $\pi$ 를 공간의 넓이로 봄	8	넓이도 계량으로 잰다. 쌍곡 넓이 요소는 $4/(1-r^2)^2$ 배
원판 그림 속 둘레 $2\pi r$ 을 실제 둘레로 봄	9	그 자리의 배율 $2/(1-r^2)$ 을 곱한다

요약

곡면 위에서 거리를 재려면 각 점의 접선공간에 내적(계량 텐서 $g_{ij}$ )을 붙여야 한다. 좌표로 적으면 선소 $ds^2 = g_{ij}\,dx^i\,dx^j$ 이고, 평면 직교좌표에서는 피타고라스 정리로 돌아온다. 내적이 점마다 매끄럽게 변하면 리만 계량이며, 곡선의 길이는 매 순간 속도의 크기를 그 자리의 눈금으로 재서 적분한 값이다. 구면의 계량 $R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2)$ 은 위도선이 극으로 갈수록 짧아짐을 담고, 푸앵카레 원판의 계량은 유한한 원판을 끝없는 쌍곡 평면으로 만든다. 좌표 그림에서 보이는 길이·각도·넓이는 믿을 수 없고, 모두 계량으로 다시 재야 한다.

연결되는 세계들

아래 표의 낱말 가운데 이 책에서 다루지 않은 것은 더 찾아볼 때의 검색어로 적었다.

분야	연결
일반상대론	민코프스키 계량: 시간과 공간의 부호가 다르다
정보기하학	피셔 정보행렬 = 확률분포 공간 위의 리만 계량
탄성역학	변형 텐서 = 변형 전후의 계량 차이
컴퓨터 그래픽	텍스처 매핑 = 매니폴드 사이의 함수, 왜곡 최소화
최적수송	바서슈타인 거리: 확률분포 공간의 또 다른 계량

막힌 곳

계량이 있으면 곡선 하나의 길이는 잴 수 있다. 그런데 두 점을 잇는 가장 짧은 길, 곧 측지선은 수많은 곡선을 모두 재 보지 않고 어떻게 찾는가? 평면에서는 직선, 구면에서는 대원(구의 중심을 지나는 큰 원)이 그 길이지만, 푸앵카레 원판에서는 직선이 아니라 경계원에 직각으로 만나는 원호라고 한다. 계량이 달라지면 가장 짧은 길의 모양도 달라진다. 또 구면과 푸앵카레 원판은 계량의 모양이 달랐는데, 계량 성분만 보고 그 공간이 얼마나, 어느 쪽으로 휘었는지 알아낼 수 있을까? 이 장의 도구로는 아직 답하지 못했다.