미분했더니 좌표가 섞여 들어온다

레비-치비타 접속: 계량이 고르는 단 하나의 보정

평면에서는 기저가 돈 몫을 직교좌표의 곧은 격자에 견줘 계산할 수 있었다. 곡면에는 그렇게 견줄 곧은 격자가 없어서, 화살표를 옮길 때마다 무엇을 "돌지 않은 것"으로 칠지 정해야 한다. 그런데 걱정이 하나 생긴다. 보정 항 $\Gamma$는 누가 정하는가? 다르게 고르면 다른 공변미분이 나오지 않는가? 실제로 그렇다. 이런 보정 규칙 하나하나를 접속이라 부른다. 접속은 서로 다른 점의 화살표를 비교하는 규칙이다. 두 점의 접선공간(그 점에서 곡면에 닿는 평면)은 서로 다른 방이라, 한 방의 화살표를 다른 방으로 옮기는 규칙이 있어야 비교할 수 있다. 규칙은 얼마든지 만들 수 있다.

역사: 툴리오 레비-치비타 (Tullio Levi-Civita, 1873–1941)

이탈리아 파도바 대학의 교수였던 레비-치비타는 스승 그레고리오 리치-쿠르바스트로와 함께 "텐서 해석학(calcolo tensoriale)"을 체계화한 인물이기도 하다. 아인슈타인은 일반상대성이론을 구축하면서 리치와 레비-치비타의 텐서 형식론에 크게 의존했고, 레비-치비타와 활발히 서신을 교환했다.

편지는 1915년 초, 레비-치비타가 아인슈타인의 중력 방정식 논문에서 텐서 계산이 어긋난 곳을 짚으면서 시작되었다. 둘은 이 문제를 두고 여러 달 편지를 주고받았고, 아인슈타인은 그 편지 가운데 하나에 이렇게 썼다. “당신의 계산법이 지닌 우아함에 감탄합니다. 참된 수학이라는 말을 타고 이 들판을 달리는 것은 멋진 일일 겁니다. 우리 같은 사람은 힘들게 걸어서 헤쳐 가야 하니까요.” 레비-치비타는 아인슈타인의 편지를 모두 간직했다.

파시스트 정권의 인종법으로 1938년 교수직에서 쫓겨난 레비-치비타는 고립 속에서 1941년 세상을 떠났다. 그러나 그가 놓은 다리 — 대수적 보정 항과 기하학적 평행이동(곡선을 따라 돌리지 않고 옮기기) 사이의 연결 — 는 미분기하학 전체의 기둥으로 남아 있다.

게으른 규칙과 두 조건

가장 게으른 규칙을 하나 골라 보자. 평면의 극좌표에서 $\Gamma$를 모두 0으로 두는 것이다. 그러면 화살표를 옮기는 동안 성분을 그대로 들고 가게 된다. 좌표 기저 $\partial_\theta$ 하나, 곧 성분 $(0, 1)$짜리 화살표를 $r = 1$에서 $r = 2$까지 바깥으로 옮겨 보자. 성분은 끝까지 $(0, 1)$이다. 그런데 $\partial_\theta$의 길이는 그 자리 원의 반지름 $r$과 같다(각도 1만큼 돌 때 원 둘레를 따라 가는 거리). 그래서 $r = 1$에서 길이 1이던 화살표가 $r = 2$에서는 길이 2가 된다. 옮기기만 했는데 자(계량. 점마다 거리를 재는 눈금)로 잰 길이가 두 배가 되었다.

이것을 막는 것이 첫째 조건, 계량 호환이다. 옮기는 동안 자로 잰 길이와 각도가 변하지 않아야 한다는 조건으로, 식으로는 $\nabla g = 0$이다(계량 $g$를 어느 방향으로 보정된 미분을 해도 0, 곧 들고 다니는 자가 변하지 않는다). 공변미분 절에서 구한 보정 $\Gamma^\theta_{r\theta} = 1/r$을 쓰면, 바깥으로 갈수록 $\theta$ 성분이 $1/r$로 줄어든다. $r = 2$에서 성분 $0.5$ × 길이 $2$ = 1로 길이가 그대로다.

둘째 조건은 비틀림 없음이다. 두 방향으로 조금씩 번갈아 움직여 만든 아주 작은 평행사변형이 틈 없이 닫혀야 한다. 좌표로 쓰면 $\Gamma^i_{jk} = \Gamma^i_{kj}$, 아래 두 첨자를 바꿔도 값이 같다는 조건이다. 방금의 게으른 규칙은 이 조건은 지키고 첫째 조건을 어겼다.

아래 위젯은 비틀림 조건을 그림으로 보여 준다. 한 점에서 $u$만큼 간 뒤 $v$를 옮겨 와서 $v$만큼 가는 길과, 순서를 바꾼 길이 같은 곳에서 만나는가? 비틀림이 있는 접속에서는 두 끝점 사이에 틈 $T(u, v)$가 생기고, 그 틈은 평행사변형의 넓이에 비례한다. 레비-치비타 접속은 이 틈이 언제나 0이다.

리만 매니폴드 $(M, g)$는 계량 $g$가 주어진 매니폴드다. 매니폴드는 좁게 보면 평면처럼 좌표를 깔 수 있는 곡면·공간이다. 이런 공간에서 두 조건을 함께 지키는 접속은 단 하나뿐이고, 그 크리스토펠 기호는 계량으로부터 바로 계산된다.

계량은 자이고, 접속은 자를 들고 걸어다니는 방법이다. 자의 길이가 변하지 않고 걸음걸이에 비틀림이 없는 걷기 방법은 하나뿐이고, 위 공식이 그 방법을 자에서 바로 계산해 준다. 자를 정하면 미분 규칙이 저절로 따라온다.

• 레비-치비타 접속 (계량이 정하는 유일한 비교기 / Levi-Civita Connection, $\textcolor{#9467bd}{\nabla}$) — 옮기는 동안 자로 잰 길이와 각도를 지키고(계량 호환), 작은 평행사변형이 닫히는(비틀림 없음) 단 하나의 접속. 리만 기하학의 "기본 접속"이며, 측지선(곡면 위의 곧은 길)·곡률(휘어진 정도) 등 거의 모든 후속 개념이 여기서 출발한다.

레비-치비타의 접속 개념은 후대에 "계량을 보존하면서 비틀림이 없는 유일한 접속"으로 정밀하게 특성화되었다. 오늘날 레비-치비타 접속이라 불리는 이 접속은, 리만 기하학에서 가장 자연스러운 미분 규칙의 위치를 차지한다.

문제 4 — 픽셀 수를 그대로 보내면

같이 풀기 세션 4

(가)는 $300 \times 0.2 = 60$ mm요. (나)는 픽셀 수가 같으니까 그림도 그대로 60 mm죠.

휴대폰의 픽셀 300개를 자로 재면 몇 mm예요?

$300 \times 0.1 = 30$ mm… 반으로 줄었네요. 숫자를 그대로 들고 왔는데 크기가 변했어요. (다)는 $60 \div 0.1 = 600$픽셀이요.

실제 폭은 픽셀 수 × 픽셀 하나의 폭이니까, 픽셀이 반으로 좁아지면 픽셀 수를 두 배로 늘려야 곱이 그대로지.

게으른 규칙에서는 어느 숫자가 픽셀 수였고, 어느 숫자가 픽셀 하나의 폭이었죠?

성분 1이 픽셀 수, $\textcolor{#1f77b4}{\partial_\theta}$의 길이 $\textcolor{#1b9e77}{r}$이 픽셀 하나의 폭이요. 그 폭이 두 배가 되었는데 성분을 그대로 두니까 길이가 두 배가 됐고요.

발표 자료를 노트북에서 만들고 강의실 프로젝터로 띄웠더니 그림이 엉뚱한 크기로 나왔던 게 이거였네요. 픽셀 수만 맞춰 놓고 픽셀 하나의 크기는 생각을 안 했어요.

문제 5 — 구면 좌표의 크리스토펠 기호

같이 풀기 세션 5

sympy로 돌려 봤어요. $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\theta_{\phi\phi} = -2\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta}$가 나와요.

난 손으로 했는데 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\theta_{\phi\phi} = -\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta}$야. 대신 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\theta\phi} = \sin\textcolor{#1b9e77}{\theta}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta}$가 나왔어.

한 개씩 다르네요. 검산할 거리가 하나 있어요. 민준 학생 코드에 극좌표 계량을 넣으면 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^r_{\theta\theta}$가 얼마로 나와요?

…$-2\textcolor{#1b9e77}{r}$이요. 그런데 아까 그림으로 $-\textcolor{#1b9e77}{r}$을 확인했잖아요. 아, 코드에 $\frac{1}{2}$을 안 넣었어요. 괄호 안 세 항만 더했네요.

답을 이미 아는 경우로 먼저 돌려 보라던 조교님 말이 이제 이해돼요. 테스트 없이 과제를 냈다가 결과가 전부 두 배로 나와서 감점당한 적이 있거든요.

이번엔 서연 학생 차례예요. $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\theta\phi}$는 $\textcolor{#1f77b4}{\partial_\phi}$를 $\textcolor{#1b9e77}{\theta}$ 방향으로 옮길 때 생기는 $\textcolor{#1f77b4}{\partial_\phi}$ 성분이에요. $\textcolor{#1f77b4}{\partial_\phi}$의 길이는 얼마죠?

$\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta}$요. 그 위도선의 반지름이니까요.

북쪽이나 남쪽으로 조금 움직이면 그 길이는 얼마만큼의 비율로 변해요?

상대 변화율이니까 $(\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta})'/\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta} = \cot\textcolor{#1b9e77}{\theta}$요. 그러면 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\theta\phi} = \cot\textcolor{#1b9e77}{\theta}$여야 해요. 저는 공식의 역행렬 자리에 $\textcolor{#d62728}{g}^{\theta\theta} = 1$을 넣었어요. 위첨자가 $\phi$니까 $\textcolor{#d62728}{g}^{\phi\phi} = 1/\sin^2\textcolor{#1b9e77}{\theta}$를 넣어야 했는데요.

$$\begin{aligned} \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\theta_{\phi\phi} &= \frac{1}{2}\textcolor{#d62728}{g}^{\theta\theta}\left(-\frac{\partial \textcolor{#d62728}{g}_{\phi\phi}}{\partial \textcolor{#1b9e77}{\theta}}\right) = -\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta} \\[4pt] \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\theta\phi} &= \frac{1}{2}\textcolor{#d62728}{g}^{\phi\phi}\,\frac{\partial \textcolor{#d62728}{g}_{\phi\phi}}{\partial \textcolor{#1b9e77}{\theta}} = \frac{2\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta}\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta}}{2\sin^2\textcolor{#1b9e77}{\theta}} = \cot\textcolor{#1b9e77}{\theta} \end{aligned}$$

$$\begin{array}{ll} \textcolor{#1b9e77}{\theta}, \textcolor{#1b9e77}{\phi} & \text{구면 좌표 (북극에서 잰 각도, 경도)} \\ \textcolor{#d62728}{g}_{\phi\phi} = \sin^2\textcolor{#1b9e77}{\theta} & \text{경도 방향 눈금의 제곱} \\ \textcolor{#d62728}{g}^{\phi\phi} = 1/\sin^2\textcolor{#1b9e77}{\theta} & \text{역행렬 성분 (위첨자 } \phi \text{ 와 짝)} \\ \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\theta_{\phi\phi}, \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\theta\phi} & \text{0이 아닌 크리스토펠 기호 } (\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^\phi_{\phi\theta} \text{ 도 같은 값}) \end{array}$$

선형대수 시간에 첨자 짝을 안 맞춘 채 행렬 곱을 전개했다가, 교수님이 "첨자는 문법이다"라고 하셨던 게 생각나. 위첨자가 $\phi$면 $\textcolor{#d62728}{g}^{\phi l}$의 첫 첨자도 $\phi$여야지.

좋아요. 이 두 값은 구면 위에서 화살표를 옮길 때 바로 써요.

문제 6 — 길이는 지키는데 닫히지 않는 규칙

같이 풀기 세션 6

(가)는 지켜요. 돌리기만 하고 늘이거나 줄이지 않으니까, 길이도 두 화살표 사이의 각도도 그대로예요.

(나)는 두 길 다 동쪽으로 1, 북쪽으로 1 가는 거니까 둘 다 $(1, 1)$에서 만나요. 떨어진 거리는 0이요.

첫째 길을 한 걸음씩 따라가 볼까요. 동쪽으로 1 가는 동안, 들고 간 “북쪽으로 1” 화살표는 어떻게 됐죠?

0.1 rad 돌아서… $(-\sin 0.1,\ \cos 0.1) = (-0.0998,\ 0.995)$요. 그걸 따라가면 끝점이 $(0.900,\ 0.995)$예요. 둘째 길은 북쪽으로 갈 때 안 돌리니까 동쪽 화살표 그대로라 $(1, 1)$이고요. 두 끝점이 약 0.1 떨어져 있네요.

걸음을 0.5로 줄이면 첫째 길 끝이 $(0.475,\ 0.499)$, 둘째가 $(0.5,\ 0.5)$라 약 0.025. 걸음을 반으로 줄이니 틈은 4분의 1이야.

이 규칙은 첫째 조건은 지키고 평행사변형이 닫히지 않아요. 게으른 규칙과 거꾸로죠. 크리스토펠 기호로 보면 어디가 어긋났을까요? 동쪽으로 움직일 때, 옮긴 화살표에 견주면 좌표 기저 $\textcolor{#1f77b4}{\partial_y}$는 어떻게 보여요?

옮긴 화살표는 시계 반대 방향으로 도는데 $\textcolor{#1f77b4}{\partial_y}$는 그대로니까, 옮긴 화살표에 견주면 $\textcolor{#1f77b4}{\partial_y}$가 거꾸로 시계 방향, 곧 동쪽으로 0.1씩 기울어요. 그래서 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^x_{xy} = 0.1$. 북쪽으로 움직일 때는 아무것도 안 돌리니까 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^x_{yx} = 0$이에요. 아래 두 첨자를 바꿨더니 값이 달라요.

두 조건 가운데 하나만 지키는 규칙이 둘 다 있네요. 그럼 둘 다 지키는 규칙은 왜 딱 하나예요?

세어 봅시다. 2차원에서 $\textcolor{#9467bd}{\Gamma}^i_{jk}$는 몇 개예요?

첨자 셋이 각각 두 가지니까 8개요.

둘째 조건으로 아래 두 첨자를 바꿔도 같아야 하니까, 아래 짝은 $(1,1), (1,2), (2,2)$ 세 가지라 $2 \times 3 = 6$개가 남아요. 첫째 조건은 계량 성분 셋($\textcolor{#d62728}{g}_{11}, \textcolor{#d62728}{g}_{12}, \textcolor{#d62728}{g}_{22}$)을 두 방향으로 미분한 값마다 식 하나라서 $3 \times 2 = 6$개. 모르는 수 6개에 식 6개예요.

그래요. 개수가 맞아떨어지고, 실제로 풀어 보면 답이 하나로 나와요. 그 답을 적어 둔 것이 위의 공식이에요.

선형대수 시간에 미지수 여섯에 식 여섯이면 해가 하나일 수 있다고 배웠는데, 여기서는 그 해가 곧 규칙 하나였네.