자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
단위가 다른 레이더 숫자 두 개(시속 km, 1분에 몇 도)를 그대로 제곱해 더함	1	도는 빠르기에 레이더까지의 거리를 곱해 같은 단위로 바꾼 뒤 더한다
첨자가 셋 달렸으니 $\Gamma$ 도 텐서라고 봄	2	$\Gamma$ 의 변환 규칙에는 좌표 변환의 2차 미분 항이 붙는다. 한 좌표계에서 0이어도 다른 좌표계에서 0이 아닐 수 있다
이웃 점의 기저 차이를 되돌릴 때 반대 방향으로 돌림	3	이웃 점의 기저벡터를 내 기저로 적어 보고 돌리는 방향을 정한다
픽셀 수(성분)가 같으면 크기도 같다고 봄	4	실제 길이 = 픽셀 수 × 픽셀 하나의 폭. 폭이 바뀌면 픽셀 수도 바뀌어야 한다
레비-치비타 공식에서 $\frac{1}{2}$ 을 빠뜨림	5	답을 아는 경우(극좌표 $\Gamma^r_{\theta\theta} = -r$ )로 코드를 먼저 검산한다
역행렬 자리에 첨자 짝이 맞지 않는 성분( $g^{\theta\theta}$ )을 넣음	5	위첨자가 $\phi$ 면 $g^{\phi l}$ . 첨자 짝부터 맞춘다
같은 거리를 가는 두 길이니 끝점도 같다고 봄	6	옮기는 동안 화살표가 돌면 둘째 걸음의 방향이 달라진다. 틈이 곧 비틀림이다
깃발을 돌리지 않았으니 몸 기준 숫자도 그대로라고 봄	7	기준이 돌면 같은 방향도 다른 숫자로 적힌다
한 점에서 $\Gamma = 0$ 이면 그 근처가 평평하다고 봄	8	$\Gamma$ 는 좌표에 따라 달라지는 양이다. 휘어짐은 $\Gamma$ 의 미분에 들어 있다
성분이 같으면 모멘텀도 그대로라고 봄	9	길이 = 성분 × 기저의 길이( $\sin\theta$ ). 평행이동은 성분을 바꿔 길이를 지킨다

요약

곡선좌표에서 벡터장의 성분을 편미분하면 벡터장의 진짜 변화와 기저벡터가 변한 몫이 섞여 나온다. 기저가 변한 몫을 크리스토펠 기호 $\Gamma^i_{jk}$ 로 적어 보정 항으로 더하면 좌표에 무관한 공변미분 $\nabla_v W$ 가 된다. 보정 규칙(접속)은 여럿이지만, 계량을 보존하고 비틀림이 없다는 두 조건을 걸면 단 하나, 레비-치비타 접속이 남고 그 $\Gamma$ 는 계량만으로 계산된다. 공변미분이 0이 되게 벡터를 옮기는 것이 평행이동이다. $\Gamma$ 자체는 텐서가 아니어서 좌표를 바꾸면 생기기도 사라지기도 하므로, 한 점의 $\Gamma$ 값만으로는 공간이 평평한지 알 수 없다.

연결되는 세계들

아래 표의 낱말 가운데 이 책에서 다루지 않은 것은 더 찾아볼 때의 검색어로 적었다.

분야	연결
게이지 이론	양-밀스 접속 = 파이버 다발 위의 접속
신경망	리만 최적화: 곡면 위 매개변수의 걸음과 모멘텀을 접속(평행이동)으로 옮긴다
수치해석	매니폴드 위의 ODE 풀이: 보정 없이 적분하면 해가 매니폴드를 이탈
일반상대론	크리스토펠 기호 = 중력장의 좌표 표현
정보기하학	$\alpha$ -접속족: 계량이 정하는 접속 외에 무한히 많은 접속이 존재

막힌 곳

적도를 따라 옮기면 성분이 그대로였다. 그런데 적도가 아닌 위도선을 따라 한 바퀴 평행이동하면 $\Gamma^\theta_{\phi\phi}$ 와 $\Gamma^\phi_{\phi\theta}$ 때문에 성분이 서로 섞인다. 출발점으로 돌아왔을 때 벡터는 얼마나 돌아가 있을까? 그리고 휘어짐이 $\Gamma$ 의 미분에 들어 있다면, 좌표를 바꿔도 변하지 않는 양으로 어떻게 모아 낼 수 있을까? 이 장에서는 아직 답하지 못했다.