자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
원기둥을 비스듬히 감아 오른 길이를 둘레와 높이를 더해 구함	1	펴면 대각선이다. 길이는 $\sqrt{(\text{둘레})^2 + (\text{높이})^2}$
빙빙 돌며 올라가니 방향을 틀었다고 봄	1	펴 놓은 종이에서 곧은 대각선이다. 개미 발밑에서는 틀지 않았다
한 바퀴 도는 수평 원은 방향이 360° 바뀌니 측지선이 아니라고 봄	2	360° 돈 것은 바깥에서 본 방향이다. 펴면 가로 선분이다
반 바퀴에 트는 각이 같으니 두 레인이 똑같이 꺾는다고 봄	3	같은 거리(1 m)마다로 맞춰 비교한다. 1 m마다 트는 각은 반지름의 역수다
위도를 유지하며 동쪽으로 가면 직진이라고 봄	4	그 방향의 대원은 적도 쪽으로 내려간다. "동쪽"이라는 기준이 걸을 때마다 돌아간다
속력을 맞추지 않고 두 위도선의 꺾는 양을 비교함	4	속력이 1이 되게 시각을 맞춘 뒤 비교한다( $\textcolor{#0e9aa7}{\phi} = \textcolor{#6314ff}{s}/\sin\textcolor{#1b9e77}{\theta_0}$ )
비탈을 내려가는 가속도에 중력가속도 $g$ 를 통째로 씀	5	레일 방향 몫, 곧 $g$ 에 기울기의 사인을 곱한 값만 쓴다
가장 짧은 길이 가장 빠르다고 봄	5	곡선에 매기는 값(길이인지 시간인지)이 바뀌면 이기는 곡선도 바뀐다
$\textcolor{#0e9aa7}{r}^2\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\theta}}$ 를 시각으로 미분할 때 $\textcolor{#0e9aa7}{r}$ 을 상수처럼 둠	6	곱의 미분. $\textcolor{#0e9aa7}{r}$ 도 시각에 따라 변한다
측지선이면 언제나 최단경로라고 봄	7	측지선은 가까운 경로들보다만 짧다. 켤레점(구면에서는 대척점)을 지나면 최단 자격을 잃는다
최단경로는 하나뿐이라고 봄	7	길이 범함수는 볼록하지 않다. 대척점까지의 최단경로는 무한히 많다
더한 뒤 길이 1로 나눈 점을 지수 사상의 점과 같다고 봄	8	각도로 재면 모자란다(걸음 0.5에서 0.036 rad). 걸음이 작으면 차이가 빠르게 줄어 싼 방법으로 바꿔 쓸 수 있다

요약

평면의 직선은 "최단경로"이면서 "가속도 0인 곡선"이다. 곡면 위에서 가속도 0, 곧 진행 방향을 자기 자신을 따라 평행이동해도 변하지 않는 곡선이 측지선이며, 좌표로 쓰면 측지선 방정식 $\ddot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^k + \textcolor{#9467bd}{\Gamma}^k_{ij}\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^i\dot{\textcolor{#0e9aa7}{\gamma}}^j = 0$ 이 된다. 대원은 이 방정식을 만족하고, 위도선은 매 순간 측지 곡률만큼 핸들을 꺾어야 한다. 곡선마다 에너지를 매기고 가장 작은 것을 고르는 변분법의 문제도 같은 방정식을 주므로 측지선은 국소적으로 최단이지만, 한 점에서 쏘아 보낸 측지선들(지수 사상)이 다시 모이는 켤레점을 지나면 더는 최단이 아니다.

연결되는 세계들

아래 표의 낱말 가운데 이 책에서 다루지 않은 것은 더 찾아볼 때의 검색어로 적었다.

분야	연결
일반상대론	자유낙하 = 시공간의 측지선, 중력은 시공간의 휘어짐
최적화	리만 최적화: 매니폴드 위에서의 경사하강법
정보기하학	m-측지선 vs e-측지선: 접속이 다르면 "직선"이 다르다
컴퓨터 비전	형상 공간에서의 측지거리
변분법	오일러-라그랑주 방정식의 기하학적 해석

막힌 곳

구면에서는 한 점에서 출발한 측지선들이 반 바퀴 뒤 대척점에서 다시 모였고, 평면에서는 영원히 벌어지기만 한다. 측지선들이 모이느냐 벌어지느냐는 곡면이 어떻게 휘었는지에 달려 있는 것 같은데, 그 휘어진 정도를 한 점에서 숫자 하나로 말하는 방법은 이 장에서 아직 찾지 못했다.