자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
값이 10% 오르면 양을 10% 줄이면 곱이 그대로라고 봄	1	한쪽이 $k$ 배면 다른 쪽은 $1/k$ 배라야 곱이 그대로다. $1.1 \times 0.9 = 0.99$
계량 호환이 아닌 접속이면 어떻게 옮겨도 내적이 깨진다고 봄	2	$Y$ 는 $\nabla$ 로, $Z$ 는 $\nabla^*$ 로 짝 맞춰 옮기면 내적이 보존된다
셀로판 두 장을 겹친 통과율을 두 통과율의 평균으로 셈	3	빛이 두 장을 차례로 지나므로 통과율은 곱해진다. 두 전등을 비출 때 밝기가 더해진다
로짓을 평균 내든 확률을 평균 내든 같은 분포가 나온다고 봄	4	로짓 평균은 확률의 기하평균(e-가운데), 확률 평균은 m-가운데다. 엇갈린 두 모델이면 곱하기는 둘이 덜 반대하는 클래스를 끌어올린다
곱하기 가운데는 늘 섞기 가운데보다 작다고 봄	5	곱하기는 더 치우친 동전 쪽으로 끌린다. 0.1·0.5 쌍은 0.25 < 0.30, 0.9·0.5 쌍은 0.75 > 0.70
두 차의 연비를 km/L로 그대로 평균 냄	6	거리를 같게 맞췄으면 기름이 더해지므로 L/100km로 평균 낸다. 10과 20 km/L는 13.3 km/L
표준편차를 그대로 평균 내어 중간점을 구함	7	$(\mu, \sigma)$ 의 직선은 어느 접속의 직선도 아니다. e는 $\theta$ 에서, m은 $\eta$ 에서 평균 낸다
혼합분포가 정규분포족 밖이니 m-중간점도 족 밖이라고 봄	7	m-중간점은 혼합분포와 평균· $\mathbb{E}[x^2]$ 를 맞춘 족 안의 점 $N(0, 5)$
앙상블의 분산을 모델 분산의 평균으로만 셈	8	$\mathbb{E}[x^2]$ 를 평균 내면 평균끼리 갈린 몫이 더해진다. $2.5 + 1 = 3.5$
휘어진 지구 위에서는 어떻게 옮겨도 한 바퀴 돌면 화살표가 어긋난다고 봄	9	어긋남은 접속이 정한다. 나침반 규칙은 0°, 레비-치비타는 약 78°
곡률 0인 두 접속의 평균도 곡률 0이라고 봄	10	곡률에는 $\Gamma\Gamma$ 항이 있어 $\Gamma$ 에 대해 선형이 아니다. 레비-치비타 곡률은 $-1/2$

요약

레비-치비타 접속의 유일성은 계량 호환성과 비틀림 없음을 함께 요구할 때만 성립한다. 계량 호환성을 두 접속이 나누어 가지면 쌍대 접속 $\nabla$ , $\nabla^*$ 가 되고, 한쪽씩 맡아 옮긴 두 벡터의 내적은 보존된다. 확률분포의 공간에서는 분포를 더하는 m-측지선과 곱하는 e-측지선이 이런 짝을 이루며, 큐빅 텐서로 레비-치비타를 기울인 $\alpha$ -접속의 족에서 $\nabla^{(\alpha)}$ 와 $\nabla^{(-\alpha)}$ 는 언제나 쌍대다. 지수족에서는 e-접속과 m-접속이 모두 평탄해(쌍대 평탄) 곧은 좌표 $\theta$ 와 $\eta$ 가 로그 분배함수의 르장드르 변환으로 오간다. 곡률은 매니폴드 혼자의 성질이 아니라 접속을 함께 정한 쌍의 성질이어서, 같은 정규분포족이 e·m 접속으로는 평평하고 레비-치비타로는 $K = -1/2$ 로 휘어 있다.

연결되는 세계들

분야	연결
정보기하학	쌍대 평탄 구조, 자연 매개변수 vs 기대 매개변수
통계학	지수족의 기하학, 충분통계량, 최대가능도 추정
열역학	르장드르 변환: 에너지 ↔ 엔트로피
기계학습	DPO/RLHF에서의 KL 발산(두 분포가 얼마나 다른지 한 방향으로 재는 양) 방향성
양자정보	Petz 분류: 양자 상태 공간에서의 단조 계량

막힌 곳

같은 두 분포 사이의 "한가운데"가 e-측지선과 m-측지선에서 서로 달랐다. 그렇다면 두 분포가 얼마나 떨어져 있는지를 재는 양도 한 가지가 아니어야 하지 않을까? $P$ 에서 $Q$ 를 바라볼 때와 $Q$ 에서 $P$ 를 바라볼 때 서로 다른 값을 주는 "거리"가 있다면, 그것은 이 장의 두 접속과 어떤 관계일까? 이 질문에는 아직 답하지 못했다.