위도선의 홀로노미: 푸코 진자가 도는 까닭

지금까지 본 경로는 대원(구의 중심을 지나는 평면이 구면을 자른 가장 큰 원. 적도나 자오선) 조각을 이어 붙인 삼각형이었다. 그런데 땅 위에 서 있는 우리는 날마다 지구와 함께 자기 위도선을 따라 한 바퀴씩 실려 간다. 대원이 아닌 원, 이를테면 위도선을 따라 한 바퀴 돌면 화살표는 얼마나 돌아갈까? 그리고 이 어긋남을 실제 지구 위에서 눈으로 볼 수 있을까?

역사: 레옹 푸코 (Léon Foucault, 1819–1868)

파리의 물리학자 레옹 푸코는 지구가 돈다는 것을 땅 위에서 직접 보여 줄 실험을 찾고 있었다. 실마리는 공작 기계에서 나왔다. 쇠를 돌려 깎는 기계(선반)의 축에 가늘고 휘는 막대를 물리고 떨게 하면, 기계를 돌려도 막대가 떠는 평면은 그대로였다. 이 관찰이 진자 실험으로 이어졌다. 1851년 2월 파리 천문대에서 처음 공개한 뒤, 몇 주 뒤에는 판테온의 돔에서 28 kg짜리 추를 길이 67미터의 줄에 매달았다. 진자가 흔들리는 평면(진동면)은 한 시간에 11°쯤씩 시계 방향으로 돌아갔다. 지구가 자전하고 있다는 직접적 증거였다.

파리 판테온에 설치된 푸코 진자. 67미터 길이의 줄에 매달린 진자의 진동면이 천천히 회전하며, 이는 구면 위에서 벡터가 평행이동될 때 나타나는 홀로노미의 물리적 시연이다.

지구 자전의 증거로 유명하지만, 기하학적으로 보면 이것은 평행이동의 홀로노미다. 진자를 매단 점은 지구와 함께 위도선을 따라 하루에 한 바퀴 실려 간다. 그동안 진동면을 수직축 둘레로 비트는 힘은 없다. 그래서 진동면은 실려 가는 대로 그 자리의 수직 방향에만 맞춰질 뿐 스스로 돌지 않는다. 땅 위에서 보면, 진동면의 방향이라는 화살표가 위도선이라는 닫힌 경로를 따라 하루에 한 바퀴 평행이동되는 것이다.

푸코의 시대에는 이것을 이렇게 읽을 수학 언어가 아직 없었다. 곡면 위의 "돌리지 않고 옮기기"가 수학 개념으로 세워진 것은 60여 년 뒤이고, 다시 60여 년 뒤인 1984년에는 마이클 베리(Michael Berry)가 같은 구조를 양자역학에서 일반적인 꼴로 정리한다 — 오늘날 "베리 위상(Berry phase)"이라 부르는 것이다.

위도선 한 바퀴의 회전각

푸코 진자의 회전을 계산하려면 먼저 위도선을 따라 도는 화살표의 홀로노미를 알아야 한다. 위도선이 둘러싼 극지방 모자의 넓이를 적분하면 된다. 푸코가 실험한 파리(북위 48°52′, 약 48.87°)로 해 보자.

따라 계산해 보기 — 위도선을 한 바퀴 돌면 화살표는 얼마나 돌아가나

북극에서 잰 각도(여위도)가 $\textcolor{#1b9e77}{\theta}_0$ 인 위도선을 동쪽으로 한 바퀴 돈다고 하자. 위도선은 대원이 아니지만, 경로를 따라 평행이동하는 것은 마찬가지로 할 수 있다. 홀로노미 정리에 따르면 회전각은 위도선이 둘러싼 극지방 모자의 넓이다. 반지름 1인 구면의 넓이 요소는 $dA = \sin\theta\, d\theta\, d\phi$ 이므로,

\textcolor{#a0522d}{\Delta\theta} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\textcolor{#1b9e77}{\theta}_0} \textcolor{#b8860b}{K}\, \sin\textcolor{#1b9e77}{\theta}\; d\textcolor{#1b9e77}{\theta}\, d\textcolor{#1b9e77}{\phi} = 2\pi\left(1 - \cos\textcolor{#1b9e77}{\theta}_0\right) \qquad (\textcolor{#b8860b}{K} = 1)

\begin{array}{ll} \textcolor{#a0522d}{\Delta\theta} & \text{한 바퀴 돈 뒤 화살표가 돌아간 각도 (홀로노미)} \\ \textcolor{#1b9e77}{\theta}, \textcolor{#1b9e77}{\phi} & \text{구면 좌표: 북극에서 잰 각도, 경도} \\ \textcolor{#1b9e77}{\theta}_0 & \text{돌고 있는 위도선의 여위도} \\ \textcolor{#b8860b}{K} & \text{가우스 곡률, 반지름 1인 구면에서 1} \end{array}

파리는 여위도가 $\textcolor{#1b9e77}{\theta}_0 = 90° - 48.87° = 41.13°$ 이므로 $\textcolor{#a0522d}{\Delta\theta} = 2\pi(1 - \cos 41.13°) \approx 1.551\ \text{rad} \approx 88.9°$ 다. 극에 가까운 작은 원일수록 둘러싼 넓이가 작아 회전도 작고, 적도( $\textcolor{#1b9e77}{\theta}_0 = 90°$ )에서는 반구 전체를 둘러싸므로 $2\pi$ , 곧 원래 방향으로 돌아온다.

푸코 진자는 이 계산을 땅의 눈금으로 본 것이다. 위도선을 따라 걸으면 “동쪽” 방향 자체가 한 바퀴( $2\pi$ ) 돌아가므로, 동쪽에 대해 잰 진동면의 회전은

2\pi - \textcolor{#a0522d}{\Delta\theta} = 2\pi\cos\textcolor{#1b9e77}{\theta}_0 = 2\pi\sin(\text{위도})

\begin{array}{ll} 2\pi & \text{한 바퀴 도는 동안 경로 방향(동쪽)이 돌아간 각도} \\ \textcolor{#a0522d}{\Delta\theta} & \text{홀로노미} \\ \textcolor{#1b9e77}{\theta}_0 & \text{여위도} = 90° - \text{위도} \end{array}

가 된다. 파리에서는 하루(항성일: 먼 별을 기준으로 지구가 한 바퀴 도는 시간, 약 23.93시간)에 $271.1°$ , 한 시간에 약 $11.3°$ 돌아가서, 진동면이 한 바퀴 도는 데 약 31.8시간이 걸린다. 푸코가 판테온에서 본 바로 그 빠르기다. 홀로노미와 푸코 회전은 합이 $360°$ 인 한 쌍이다.

파리의 위도선(여위도 41°)을 북극 위에서 내려다본 그림. 파랑은 그 자리의 동쪽, 주황은 평행이동한 화살표다. 위도선을 한 바퀴 도는 동안 동쪽은 360° 돌지만 화살표는 88.9°만 돈다. 그래서 동쪽(땅)에 대해 재면 화살표는 반대쪽으로 271.1° 돈 셈이다

위도별로 두 값을 나란히 놓아 보자(회전은 항성일 하루 동안).

위도	홀로노미 (처음 화살표 기준)	진동면의 회전 (땅의 동쪽 기준)	합
90° (북극)	0°	360°	360°
48.87° (파리)	88.9°	271.1°	360°
30°	180°	180°	360°
0° (적도)	360° (제자리)	0°	360°

북극에서는 진동면이 땅에 대해 하루에 한 바퀴 돌고, 적도에서는 전혀 돌지 않는다. 두 칸은 같은 어긋남을 서로 다른 기준으로 잰 값이라 합이 언제나 360°다.

위도선을 따라 도는 평행이동을 직접 돌려 보자. 「위도선 한 바퀴」를 고르면 파리와 가까운 여위도 41°에서 시작하고, 한 바퀴를 다 돌면 측정한 홀로노미와 땅 기준 회전이 나란히 나온다.

문제 6 — 북위 60°의 화살표와 서울의 푸코 진자

계산 (가) 북위 60° 위도선을 동쪽으로 한 바퀴 평행이동한 화살표의 회전각 $\textcolor{#a0522d}{\Delta\theta}$ 를 구하라. (나) 서울(북위 37.5°)의 푸코 진자는 항성일(약 23.93시간) 동안 땅에 대해 몇 도 돌아가며, 진동면이 한 바퀴 도는 데 몇 시간이 걸리는가?

위 그림 도구에서 「문제 6 불러오기」를 누르면 (가)의 위도선이 들어간다.

같이 풀기 세션 6

(가)는 공식에 넣으면 끝이야. $2\pi(1 - \cos 60°) = \pi$ , 그러니까 $180°$ .

난 푸코 공식으로 했는데 $2\pi\sin 60° \approx 311.8°$ 가 나와. 둘 중 하나는 틀렸네.

둘 다 멈춰 봅시다. 서연 학생, 북위 60°의 원은 북극에 가까워요, 적도에 가까워요?

북극에 가까워요. 그러면 둘러싼 극지방이 작아서 회전도 작아야 하는데, $180°$ 면 반구의 절반이나 둘러싼 셈이에요. 아, 공식의 $\textcolor{#1b9e77}{\theta}_0$ 는 북극에서 잰 각도라서 $90° - 60° = 30°$ 를 넣어야 했어요. $2\pi(1 - \cos 30°) \approx 48.2°$ 예요.

좋아요. 민준 학생의 $311.8°$ 는 뭘 잰 걸까요?

그건… 땅에 대해 잰 진자 회전이요. 홀로노미는 원래 화살표랑 비교한 거고요. 둘을 더하면 $48.2 + 311.8 = 360$ 이니까, 둘 다 맞는 숫자인데 잰 기준이 달랐던 거네요.

위도선을 한 바퀴 도는 동안 "동쪽"이라는 기준 자체가 한 바퀴 돌거든요. 같은 어긋남을 다른 자로 잰 거예요.

채점 기준표랑 모범답안을 섞어서 본 거랑 같네요. 둘 다 맞는 숫자인데 뭐에 대한 숫자인지 안 적으면 조교가 0점 줘요.

그럼 (나)는 땅 기준이니까 $360° \times \sin 37.5° \approx 219.2°$ 이고, 한 바퀴는 $23.93 / \sin 37.5° \approx 39.3$ 시간이야.

numpy로 돌려도 같아. $219.15°$ , $39.32$ 시간.

도구에서 문제 6을 불러와 한 바퀴 돌려도 측정값이 $48.2°$ , 땅 기준이 $311.8°$ 로 나와요.