자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
비스듬한 화살표가 걸음마다 옆으로 조금씩 기우니, 쪼개도 기운 각이 쌓여 남는다고 봄	1	한 걸음에서 기우는 양은 걸음의 제곱에 비례한다. 쪼갤수록 합이 0으로 간다
걸음마다 눌러 내려 잘린 몫이 쌓여 모멘텀이 닳아 없어진다고 봄	2	잘리는 것은 곡면에 수직인 부분이라 길이는 걸음의 제곱에 비례해서만 준다. 걸음을 쪼갤수록 쌓이는 손실도 준다
환전 고리를 거꾸로 돌아도 같은 이익이 난다고 봄	3	거꾸로 돌면 배율이 역수가 된다. 한 바퀴의 어긋남은 도는 방향을 따라 뒤집힌다
곡면 밖(3차원)에서 본 방향 변화를 평행이동의 회전으로 봄	4	곡면 위의 개미 기준으로 본다. 펴서 평면이 되는 곡면이면 펴 놓고 밀어 본다
둘러싼 영역이 있는지 확인하지 않고 $\iint K\,dA$ 를 씀	4	정리의 가정부터 확인한다. 원기둥을 감는 원은 곡면 위에 "안쪽"이 없다
그래디언트 몫을 빼고 평행이동만 했으니, 제자리에 온 모멘텀은 처음과 같다고 봄	5	곡면 위의 닫힌 고리는 둘러싼 곡률만큼 어긋난다. 작은 고리는 평면 넓이로 어림한다
위도를 여위도 자리에 넣음	6	$\theta_0$ 는 북극에서 잰 각도. 극에 가까운 원일수록 회전이 작아야 한다는 것으로 검산
땅(동쪽)에 대한 진자 회전과 홀로노미를 같은 양으로 봄	6	무엇에 대해 잰 각인지 적는다. 둘의 합은 $360°$
원뿔 옆면이 $K = 0$ 이니 회전도 $0$ 이라고 봄	7	둘러싼 영역 안에 꼭짓점이 있다. 곡률이 한 점에 몰려 있다
부채꼴의 중심각 $270°$ 를 회전량으로 봄	7	각도는 $360°$ 의 배수를 무시한다. 의미 있는 양은 잘라낸 각 $90°$

요약

평면에서는 화살표를 어떤 경로로 옮겨도 제자리에 오면 원래 방향이지만, 곡면에서는 “돌리지 않고 옮기기”(평행이동)의 결과가 경로에 따라 달라진다. 곡면을 바깥 공간에 놓고 3차원에서 들고 간 뒤 접선공간으로 눌러 내리기를 끝없이 잘게 쪼개면 그 평행이동이 된다. 닫힌 경로를 돌고 온 화살표의 어긋남이 홀로노미이고, 그 크기는 경로가 둘러싼 영역의 곡률을 적분한 값이다(홀로노미 정리). 반지름 1인 구면에서는 둘러싼 넓이가 곧 회전각이며, 푸코 진자는 땅의 눈금으로 잰 같은 어긋남을 보여 준다. 경로를 한 점으로 줄이면 넓이당 회전량이 곡률이 되고, 원뿔 꼭짓점처럼 곡률이 한 점에 몰려 있어도 둘러싼 경로의 홀로노미는 그 총량을 드러낸다.

연결되는 세계들

아래 표의 낱말 가운데 이 책에서 다루지 않은 것은 더 찾아볼 때의 검색어로 적었다.

분야	연결
양자역학	베리 위상: 양자 상태의 매개변수를 천천히 한 바퀴 돌려 되돌렸을 때 남는 위상 차이. 매개변수 공간 위의 홀로노미다
로보틱스	비홀로노믹 제약: 자동차 뒷바퀴는 옆으로 미끄러지지 못하지만, 전진·후진과 핸들 꺾기를 번갈아 하면 차가 옆으로 옮겨 간다(평행주차)
게이지 이론	윌슨 루프: 게이지장의 평행이동을 닫힌 고리를 따라 한 바퀴 돌린 값
기계학습	리만 최적화: 곡면 위 매개변수가 한 바퀴 돌아오면 평행이동으로 옮긴 모멘텀도 둘러싼 곡률만큼 어긋난다

막힌 곳

이 장의 곡면은 2차원이라 되돌아온 화살표의 어긋남을 각도 하나로 적었고, 곡률도 넓이당 회전이라는 숫자 하나로 읽었다. 그런데 3차원 이상의 매니폴드에서는 되돌아온 화살표가 회전 행렬만큼 어긋나고, 작은 고리를 어느 두 방향으로 그리느냐도 고를 수 있다. 그때 한 점의 휘어짐은 여전히 숫자 하나로 적힐 수 있을까? 또 이 장에서는 화살표를 정해진 경로를 따라 옮기기만 했다. 경로를 따라 걷는 발걸음의 방향 자체를 평행이동하며 걸으면 어떤 경로가 생길지는 아직 따져 보지 않았다.