곡률은 홀로노미의 밀도: 경로를 한 점으로 줄이면
홀로노미는 경로가 둘러싼 넓이를 따라 커지고 줄어든다. 곡률이 곳마다 다른 곡면에서 한 점이 얼마나 휘었는지 알고 싶을 때마다, 우리가 직접 잴 수 있는 것은 그 점 둘레를 도는 고리의 홀로노미다. 그렇다면 거꾸로, 경로를 점점 작게 줄여 한 점으로 모으면 무엇이 남을까?
반지름 2인 구의 북극 둘레에 원을 그리고 점점 줄여 보자. 원의 반지름은 곡면 위에서 북극부터 잰 거리다.
| 원의 반지름 | 둘러싼 넓이 | 화살표의 회전 (rad) | 회전 ÷ 넓이 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3.0767 | 0.7692 | 0.25 |
| 0.5 | 0.7813 | 0.1953 | 0.25 |
| 0.1 | 0.03141 | 0.007852 | 0.25 |
넓이도 회전도 0으로 줄어들지만, 둘의 비는 0.25로 남는다. 원을 한 점으로 모았을 때 남는 이 비가 그 점의 곡률이다. 곡률이 곳마다 다른 곡면이라면 큰 고리에서 잰 비는 고리 안 곡률의 평균이고, 고리를 줄일수록 가운데 한 점의 곡률만 남는다. 곧 곡률은 아주 작은 고리에서 잰 넓이당 홀로노미이고, 거꾸로 넓은 영역의 홀로노미는 각 점의 곡률을 모두 더한(적분한) 값이다.
고차원 매니폴드(곡면을 몇 차원으로든 넓힌 공간)에서는 되돌아온 화살표의 어긋남이 각도 하나가 아니라 회전 행렬로 적힌다. 한 점에서 출발해 돌아오는 모든 닫힌 경로의 회전을 모은 것을 홀로노미 군이라 부른다.
넓이당 회전량이 곡률이라면, 곡률이 곡면 전체에 고르게 퍼져 있을 필요는 없다. 어느 한 곳에 몰려 있어도 그 곳을 둘러싼 경로의 홀로노미는 곡률의 총량을 정확히 드러낸다. 아래 킬러 문제가 바로 그런 경우다.
문제 7 — 원뿔 꼭짓점에 숨은 곡률
킬러 중심각
같이 풀기 세션 7
이번 문제는 천천히 가 볼게요. 먼저 답부터 걸어 볼까요?
이번엔 원이 원뿔 위에서 꼭짓점 쪽 영역을 둘러싸. 그러니까
그럼 정리는 잠시 두고, 문제 4에서처럼 펴서 봅시다. 원뿔을 펴면 뭐가 돼요?
중심각
부채꼴 안에서는 평면이니까 화살표를 그냥 평행하게 밀면 돼. 한쪽 가장자리에서 출발해서 다른 쪽 가장자리까지 가면… 그 두 가장자리는 말았을 때 붙는 선이고, 한쪽을
부채꼴이 거의 원판에 가까워지면, 그러니까 중심각이
거의 평면이요. 그러면 회전도
잠깐, 그럼
원이 둘러싼 영역 안에 딱 한 점, 꼭짓점이 있죠. 곡률이 옆면에 퍼져 있는 대신 그 한 점에 몽땅 몰려 있다고 보면 돼요. 꼭짓점이 품은 곡률의 총량이 바로 잘라낸 각
아, 부채꼴에서 잘라 버린 조각만큼이 꼭짓점에 곡률로 뭉쳐 있는 거네요! 옆면을 아무리 뒤져도
꼭짓점을 아주 작은 구면 조각으로 둥글게 깎으면
곡률은 어디에 몰려 있든 총량을 속일 수 없어요.
팀플 때 한 명이 발표 준비를 몰아서 다 한 거랑 비슷하네요. 다른 사람 기여도는 0이어도 팀 점수 총합은 그대로 나오잖아요.