얼마나 휘었는지를 어떻게 숫자로 말하나

곡률의 대칭: 독립 성분은 몇 개인가

접선공간(한 점에서 공간에 닿는 평평한 공간)에서 2차원 평면을 고르는 방법은 $\binom{n}{2}$가지이고, 4차원 시공간이면 6가지다. 그런데 곡률 텐서 $R^i{}_{jkl}$에는 첨자가 네 개 있다. 첨자마다 $n$개의 값을 가질 수 있으니, 4차원이라면 곡률을 말하는 데 숫자가 $4^4 = 256$개나 필요할까? 실제로 4차원 시공간의 곡률에서 따로 정해야 하는 숫자는 20개뿐이다. 나머지는 어디로 갔을까?

먼저 표로 보자. 칸 수는 첨자 네 개가 가질 수 있는 값의 조합이고, 독립 성분은 그중 정말로 따로 정해야 하는 숫자다. 2차원과 3차원의 빈칸은 아래 문제 4에서 직접 센다.

칸 대부분은 다른 칸이 정해지면 저절로 정해진다. 성분들 사이에 늘 성립하는 관계가 셋 있기 때문이다. 세 관계는 첨자 넷을 모두 아래에 둔 $R_{ijkl}$로 적는다. $R^i{}_{jkl}$의 위 첨자를 계량으로 내린 것이다($R_{ijkl} = g_{im} R^m{}_{jkl}$).

1. 앞 두 첨자를 맞바꾸거나 뒤 두 첨자를 맞바꾸면 부호만 바뀐다(반대칭성).
2. 앞 두 첨자 묶음과 뒤 두 첨자 묶음을 통째로 맞바꿔도 값이 같다(쌍 대칭성).
3. 뒤 세 첨자를 돌려 가며 더하면 0이다(제1 비앙키 항등식).

곡률 텐서의 미분 사이에도 제2 비앙키 항등식이라는 관계가 하나 더 있지만, 성분 개수를 줄이지는 않는다.

• 비앙키 항등식 (곡률의 대칭률 / Bianchi Identities) — 곡률 텐서의 성분들 사이에 성립하는 항등식들. 제1 비앙키는 대수적 대칭성(독립 성분 수를 줄임), 제2 비앙키는 곡률 텐서의 미분 사이의 관계다. 이 항등식들이 없다면 곡률 텐서는 다루기 어려운 거대한 배열에 불과했을 것이다.

역사: 좌표만 다르게 적은 같은 식인지 가리기

1869년 엘빈 브루노 크리스토펠(Elwin Bruno Christoffel)은 거리를 재는 식 두 개가 주어졌을 때, 둘이 사실은 좌표만 다르게 적은 같은 식인지 가리는 문제를 풀었다. 이 문제를 푸는 길에 첨자 넷 달린 기호가 나왔다. 크리스토펠은 그 기호들 사이에 늘 성립하는 대수적 관계들을 증명했고, 그 관계들로 따로 정해야 하는 성분이 몇 개인지를 셌다. 같은 기호는 리만이 1861년 파리 공모에 낸 답안에 이미 들어 있었지만, 그 답안은 1876년에야 출판되었다. 두 사람은 「좌표를 바꿔서 없앨 수 있는 것과 없는 것은 무엇인가」라는 같은 물음에서 같은 양에 이르렀다.

곁글 · 계산에 앞서 개수부터 센다

풀기 전에 정해야 할 수가 몇 개이고 걸린 조건이 몇 개인지 세어 보면, 답이 하나로 정해질지, 몇 개가 남을지, 아예 답이 없을지를 미리 가늠할 수 있다. 다만 이 셈은 조건끼리 서로 기대지 않을 때만 맞다. 한 조건이 다른 조건들에서 저절로 나오면, 조건 수를 그대로 빼는 셈은 틀린다.

위성 위치 확인 시스템(GPS) 수신기는 위성까지의 거리를 신호가 오는 데 걸린 시간으로 잰다. 위치는 숫자 세 개이니 위성 셋이면 될 것 같지만, 수신기의 시계가 위성의 원자시계와 얼마나 어긋났는지도 모르는 수다. 정해야 할 수가 넷이므로 위성이 적어도 넷 보여야 한다.

기계 설계에서는 막대와 관절로 된 장치가 몇 방향으로 움직일 수 있는지를 이 셈으로 먼저 가늠한다. 평면에서 막대 하나는 세 방향(가로, 세로, 돌기)으로 움직일 수 있고, 두 막대를 잇는 돌기 관절 하나는 그중 두 방향을 묶는다. 막대 넷 가운데 하나를 바닥에 고정하고 넷을 관절 넷으로 고리처럼 이으면, 움직이는 막대 셋이 $3 \times 3 = 9$ 방향을 갖고 관절 넷이 $4 \times 2 = 8$ 방향을 묶어 $9 - 8 = 1$이 남는다. 손잡이 하나로 장치 전체가 움직인다는 뜻이다. 같은 셈을 공간에서 하면 막대 넷짜리 고리는 $-2$가 나와 꼼짝 못 해야 한다. 그런데 1903년 제프리 베넷(Geoffrey Bennett)은 막대의 길이와 비틀린 각을 특별하게 맞춘 공간 네 막대 장치가 실제로 움직인다는 것을 보였다. 그 치수에서는 조건들이 서로 기대어, 센 만큼 독립이 아니었다.

곡률 텐서의 성분을 셀 때도 칸 수에서 대칭 관계가 묶는 만큼을 빼되, 새 관계가 앞의 관계들에서 이미 나오는 것은 아닌지 따져야 한다.

문제 3 — 도시 간 거리표에 적을 숫자

같이 풀기 세션 3

25칸이니까 25번이요. 아, 서울–부산과 부산–서울은 같으니까 절반이죠. 12.5번… 반 번은 이상한데요.

서울과 서울 사이 칸에는 뭐가 적혀 있어요?

0이요. 잴 필요도 없네요. 대각선 5칸을 빼면 20칸이고, 그 절반이니까 10번이에요.

도시 둘을 고르는 방법의 수 $\binom{5}{2} = 10$이랑 같아. 대각선이 늘 0인 표는 「절반」이 아니라 「대각선을 뺀 절반」이야. 뒤 물음처럼 대각선에도 따로 정할 값이 있으면 그 5개를 더해서 15개고.

문제 4 — 곡률 텐서에는 숫자가 몇 개 들어 있나

같이 풀기 세션 4

아까 거리표처럼 세면 돼요. 반대칭성 때문에 $\textcolor{#c2185b}{R}_{11kl}$처럼 앞 두 첨자가 같은 칸은 0이니까, 앞 두 첨자 자리에 올 수 있는 건 서로 다른 두 첨자의 쌍, 곧 $\binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{2}$가지예요. 뒤 두 첨자도 마찬가지니까 $\binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{2} \times \binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{2}$. 2차원 1개, 3차원 9개, 4차원 36개.

나는 다르게 셌어. 곡률은 결국 방향 평면마다 숫자 하나잖아. 평면을 고르는 방법이 $\binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{2}$가지니까 1개, 3개, 6개.

둘 다 2차원에서는 1인데 3차원부터 갈리네요. 4차원에서 20개라는 것과 견주면 어때요?

저는 36개라 너무 많아요… 뭔가를 덜 줄였네요.

두 번째 관계, 쌍 대칭성은 셈에 넣었어요?

아, 안 넣었어요. $\textcolor{#c2185b}{R}_{ijkl} = \textcolor{#c2185b}{R}_{klij}$니까 $\binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{2} \times \binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{2}$짜리 행렬이 대칭이에요. 아까 거리표 문제의 뒤 물음처럼 대각선에도 값이 있는 대칭 표네요.

공분산 행렬을 저장할 때 조교님이 "대칭이니까 위 삼각만 저장해"라고 했던 게 딱 이거네요. 대각선까지 넣어서 세야 하고요.

서연 학생은 평면마다 숫자 하나라고 했죠. 3차원에서 서로 다른 두 평면이 섞인 성분, 예를 들어 $\textcolor{#c2185b}{R}_{1213}$은 어디에 들어가요?

아… $\textcolor{#c2185b}{R}_{1213}$은 평면 $(1,2)$와 평면 $(1,3)$을 짝지은 성분이네요. 평면 하나의 휘어짐만 세면 대각 성분만 센 거고, 평면 둘이 섞인 비대각 성분을 빠뜨렸어요. $N = \binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{2}$라고 두면 대칭행렬이니까 $N(N+1)/2$개예요.

마지막으로 제1 비앙키 항등식이 네 첨자가 모두 다를 때 하나씩 제약을 더해요. 그 개수는 $\binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{4}$예요.

그러면 2차원은 $N=1$이라 $1$, 3차원은 $N=3$이라 $6$, 4차원은 $N=6$이라 $21 - 1 = 20$이에요. 20이 그대로 나오네요. $N(N+1)/2 - \binom{\textcolor{#c4724f}{n}}{4}$를 $\textcolor{#c4724f}{n}$으로 정리하면 아래 식이 되고요. 선형대수 시간에 대칭행렬 공간의 차원을 $N(N+1)/2$로 세던 게 그대로 쓰이네요.

$$\#\{\text{독립 성분}\} = \frac{\textcolor{#c4724f}{n}^2(\textcolor{#c4724f}{n}^2 - 1)}{12}$$

$$\begin{array}{ll} \textcolor{#c4724f}{n} & \text{공간의 차원. } \textcolor{#c4724f}{n} = 2, 3, 4 \text{ 이면 } 1, 6, 20 \text{ 개} \end{array}$$