자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
팔을 비틀지 않았으니 한 바퀴 돈 뒤 엄지도 그대로라고 봄	1	한 단계씩 따라간다. 손끝이 넓이를 둘러싸는 고리를 돌면, 비틀지 않아도 둘러싼 넓이만큼 돌아간다
원 모양 고리의 넓이를 정사각형 공식(한 변의 제곱)으로 셈	2	원의 넓이를 쓴다. 구면 위에서는 평면의 원 넓이 공식도 근사이고, 실제 넓이는 $2\pi(1 - \cos\theta_0)$
같은 원을 반대로 돌아도 같은 쪽으로 돈다고 봄	2	거꾸로 돌면 방금 한 평행이동을 되감는다. $R(u,v) = -R(v,u)$
대칭인 표에서 적을 숫자를 칸 수의 절반으로 셈	3	대각선이 늘 0인 표는 대각선을 뺀 절반, 곧 $\binom{n}{2}$ 개
쌍 대칭성을 셈에 넣지 않음	4	$R_{ijkl} = R_{klij}$ 라 $\binom{n}{2} \times \binom{n}{2}$ 행렬이 대칭이다. 대각선까지 넣어 $N(N+1)/2$
방향 평면마다 숫자 하나만 셈	4	두 평면이 섞인 비대각 성분(예: $R_{1213}$ )도 있다. $N = \binom{n}{2}$ 이면 대칭행렬 $N(N+1)/2$ 개에서 비앙키 제약 $\binom{n}{4}$ 개를 뺀다
기본 점수를 얹는 환산에서도 0점은 0점이라고 봄	5	원점수와 상관없는 항이 붙으면 0이 0으로 가지 않는다
좌표를 비스듬하게 바꾸면 곡률이 생길 수 있다고 봄	6	$R$ 은 텐서라 한 좌표계에서 0이면 모든 좌표계에서 0. 좌표 따라 생겼다 없어지는 것은 $\Gamma$
기운 평면의 단면곡률이 각도에 따라 고르게 준다고 봄	7	두 점에서 맞아도 셈법이 맞는 것은 아니다. 식으로 세면 $\cos^2$ (60°에서 0.25)
기운 평면을 구면 쪽에 비춘 넓이 비( $\cos$ 한 번)만 곱함	7	평면 안의 화살표도 $\cos$ 만큼만 구면 쪽을 향한다. 식에 $v$ 가 두 번 들어가 $\cos^2$
손실 곡면이 안장이면 매개변수 공간도 휘었다고 봄	8	보통 거리로 재는 매개변수 공간은 계량이 상수라 $R = 0$ . 「음의 곡률」은 손실 곡면의 것

요약

한 점의 휘어짐을 알려면 그 점 둘레에 아주 작은 평행사변형 고리를 그리고, 그 고리를 따라 벡터를 평행이동한 어긋남을 넓이로 나눈다. 이것을 모든 방향에 대해 모은 것이 리만 곡률 텐서 $R(u,v)W = \nabla_u\nabla_v W - \nabla_v\nabla_u W - \nabla_{[u,v]}W$ 이며, 공변미분의 순서를 바꿨을 때의 차이다. 대칭성과 제1 비앙키 항등식 덕분에 독립 성분은 $n^2(n^2-1)/12$ 개뿐이다(2, 3, 4차원에서 1, 6, 20개). 좌표를 잘 고르면 한 점에서 계량을 평평하게 하고 크리스토펠 기호도 0으로 만들 수 있지만, 계량의 2차 미분 중 정확히 곡률 텐서만큼은 지워지지 않는다. 방향 평면 하나를 골라 뽑아낸 숫자가 단면곡률이고, 2차원에서는 가우스 곡률이다.

연결되는 세계들

아래 표의 낱말 가운데 이 책에서 다루지 않은 것은 더 찾아볼 때의 검색어로 적었다.

분야	연결
일반상대론	아인슈타인 방정식(시공간 곡률의 요약과 물질의 분포를 맞세우는 식)
위상수학	가우스-보네 정리: 곡률의 적분 = 위상적 불변량(늘이고 구부려도 안 변하는 수, 예: 구멍 개수)
기계학습	손실 풍경의 곡률(헤세 행렬. 이 장의 곡률 텐서와는 다른 것) → 학습률 선택, 안장점 탈출 전략
비교기하학	단면곡률의 부호가 매니폴드의 전체 형태를 제약
재료과학	결정의 결함을 곡률과 비틀림으로 나타내는 이론

막힌 곳

구면과 원기둥에서는 곡면 안에서 잰 곡률 텐서와 3차원 밖에서 본 주곡률의 곱이 같은 답을 주었다. 두 예에서 우연히 맞아떨어진 것일까, 아니면 언제나 그럴까? 곡면 안에 사는 개미가 밖을 보지 않고도 밖에서 본 휘어짐을 알아낼 수 있는지는 이 장에서 아직 답하지 못했다.