안에서만 보고도 휘어짐을 안다

놀라운 정리: 곡률은 안에서 정해진다

주곡률을 재려면 곡면을 밖에서 내려다봐야 했다. 그런데 출발 문제의 개미는 밖을 보지 않고도 구면이 휘었다는 것을 알았다. 개미가 아는 휘어짐과 밖에서 잰 $\textcolor{#b8860b}{\kappa_1}$, $\textcolor{#b8860b}{\kappa_2}$는 어떤 관계일까?

역사: 법선으로 잰 곡률

가우스(Carl Friedrich Gauss)도 처음에는 밖에서 쟀다. 그는 곡면의 작은 조각에서 점마다 법선(곡면에 수직인 화살표)을 세우고, 그 화살표를 모두 반지름 1인 보조 구의 중심으로 옮겨 화살표 끝이 구 위에 찍히는 자리를 보았다. 조각이 많이 휠수록 법선이 넓게 퍼져, 구 위에 찍힌 조각도 넓다. 가우스는 구 위에 찍힌 조각의 넓이를 곡면 위 조각의 넓이로 나눈 값을 그 점의 「곡률의 척도」라 불렀고, 이 값이 두 주곡률의 곱과 같다는 것도 보였다. 반지름 2인 공에서는 이 비가 $1/4$이고, 원기둥에서는 길이 방향으로 법선이 모두 나란해 구 위에 선 하나만 찍히므로 0이다.

이 정의는 법선, 곧 곡면이 바깥 공간(곡면을 담고 있는 3차원 공간)에 어떻게 놓였는지에 기대고 있다. 그런데 가우스는 이 값을 곡면 위의 거리를 재는 양으로 끝까지 계산해 나가다가 뜻밖의 결론에 닿았다. 1827년 10월 괴팅겐 왕립 학회에 낸 논문 Disquisitiones generales circa superficies curvas(곡면에 관한 일반 연구, 이듬해 펴냄)에서 그는 그 결론을 「놀라운 정리(Theorema Egregium)」라 불렀다. 무엇이 놀라웠는지는 종이를 말아 보면 보인다.

안에서 아는 것과 밖에서 아는 것

종이 한 장을 반지름을 바꿔 가며 말아 보자. 종이는 늘어나지 않으므로, 종이 위의 개미가 자로 재는 거리와 각도는 네 경우 모두 똑같다.

주곡률 하나하나도, 그 합도 얼마나 세게 말았는지에 따라 달라진다. 개미의 자로는 이 차이를 알 수 없으니, 이 수들은 곡면이 바깥 공간에 어떻게 놓였는지에 따라 정해지는 외재적 양(밖에서 봐야 아는 양)이다. 네 경우에 똑같이 남는 것은 곱 하나뿐이다. 가우스가 보인 것은 이것이 우연이 아니라는 것이다. 곱 $\textcolor{#b8860b}{K} = \textcolor{#b8860b}{\kappa_1} \textcolor{#b8860b}{\kappa_2}$는 언제나 자로 재는 정보, 곧 계량 텐서 $\textcolor{#d62728}{g}_{ij}$와 그 1차, 2차 편미분만으로 계산된다. 계량은 곡면 위 점마다 거리와 각도를 재는 눈금이고, 텐서는 좌표를 바꿀 때 성분이 정해진 규칙대로만 바뀌는 양이다(PyTorch의 tensor와는 이름만 같다). 곡면이 바깥 공간에 어떻게 묻혀 있는지(임베딩, embedding — ML의 단어 임베딩과는 이름만 같다)와 무관하다. 1827년 논문은 이것을 이렇게 적었다. 「곡면을 다른 곡면 위에 펼쳐 놓으면, 각 점의 곡률의 척도는 변하지 않는다.」 펼쳐 놓는다는 것은 종이를 말듯 늘이지 않고 구부려 옮긴다는 뜻이다.

• 내재적 성질 (안에서 아는 것 / Intrinsic Property) — 계량 텐서 $\textcolor{#d62728}{g}_{ij}$만으로 결정되는 기하학적 양. 곡면 위에 사는 존재가 자와 각도기만으로 측정할 수 있는 모든 것: 거리, 각도, 면적, 가우스 곡률, 측지선(곡면 위에서 가장 곧은 길) 등. 법선 벡터(곡면에 수직인 화살표), 주곡률, 평균곡률(두 주곡률의 평균 $(\textcolor{#b8860b}{\kappa_1}+\textcolor{#b8860b}{\kappa_2})/2$)은 내재적 성질이 아니다.

외재적 양 두 개를 곱했더니 내재적 양이 된 셈이다. 주곡률 하나하나를 구하려면 법선 벡터, 곧 곡면이 바깥에 어떻게 놓였는지를 알아야 하는데, 곱을 계산하면 그 정보가 상쇄되어 $\textcolor{#d62728}{g}_{ij}$만 남는다.

이 사실의 일상적 응용이 있다. 피자 접기다. 얇은 피자 조각이 축 늘어질 때, 가로 방향으로 살짝 오므려 U자로 접으면 빳빳해진다. 접기 전 피자의 가우스 곡률은 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$(평면)이고, 가로로 오므리면 그 방향의 곡률 $\textcolor{#b8860b}{\kappa_1}$이 0이 아니게 된다. 도우는 거의 늘어나지 않으므로 $\textcolor{#b8860b}{K} = \textcolor{#b8860b}{\kappa_1}\textcolor{#b8860b}{\kappa_2} = 0$이 유지되어야 하고, 따라서 $\textcolor{#b8860b}{\kappa_2} = 0$이다. 곧 끝을 향하는 세로 방향으로는 휘어질 수 없으니, 피자 끝이 아래로 처지지 않는다. 가우스 곡률 절의 위젯에서 「종이 모드」를 켜고 한 방향을 굽혔을 때 다른 방향이 0에 묶인 것이 이것이다.

이것은 또한 모든 세계지도가 왜곡될 수밖에 없는 이유이기도 하다. 구면의 $\textcolor{#b8860b}{K} = 1/\textcolor{#0561ff}{r}^2 \neq 0$이고 평면의 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$이다. 거리를 그대로 지키는 변환(등거리 사상. 사상은 점을 점으로 보내는 함수)은 가우스 곡률도 그대로 지키므로, 이런 변환으로는 구면을 평면으로 펼칠 수 없다. 메르카토르, 방위 등거리, 몰바이데 — 각도를 지키는 도법(메르카토르)이나 면적을 지키는 도법(몰바이데)은 있지만, 어떤 도법을 써도 거리만큼은 어딘가에서 반드시 틀린다. 이것은 도법을 잘못 골라서 생긴 한계가 아니라 수학적 불가능성이다.

ML에서: 바깥이 없는 매개변수 공간

평균 $\textcolor{#1b9e77}{\mu}$와 표준편차 $\textcolor{#1b9e77}{\sigma}$로 정해지는 정규분포 $N(\textcolor{#1b9e77}{\mu}, \textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2)$들을 모두 모으면, 점 하나가 분포 하나인 2차원 공간이 생긴다. 이 공간에 피셔 정보(매개변수를 조금 바꿀 때 분포가 얼마나 달라지는지를 재는 양)로 거리를 주면 계량은 $\textcolor{#d62728}{ds}^2 = (d\textcolor{#1b9e77}{\mu}^2 + 2\,d\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2)/\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2$이다. 이 공간은 어떤 3차원 공간 안에 놓인 곡면으로 주어진 것이 아니므로, 밖에서 내려다보며 주곡률을 잴 방법이 처음부터 없다. 그래도 "이 공간은 휘었는가"를 물을 수 있는 것은 놀라운 정리 덕분이다. 곡률은 계량만으로 정해지므로, 계량만 있으면 된다. 여기서 공간 위를 움직이는 것은 분포, 곧 모델의 매개변수다. 분포 사이의 거리를 피셔 정보로 재자는 생각은 라오(C. R. Rao)의 1945년 논문으로 거슬러 올라간다.

문제 4 — 종이 한 장으로 감쌀 수 있는 것

확인 종이 한 장을 찢거나 늘이지 않고(구기지도 않고) 빈틈없이 감쌀 수 있는 것을 모두 고르라. (가) 원기둥 옆면 (나) 원뿔 옆면(꼭짓점 제외) (다) 공 (라) 말안장. 공을 감쌀 수 없는 이유를 종이의 입장에서 설명하라.

같이 풀기 세션 4

가우스 곡률이 0인 건 평면뿐이잖아요. 원기둥은 딱 봐도 휘었으니까 $\textcolor{#b8860b}{K} \neq 0$이고, 그러면 (가)도 안 되는데… 어, 그런데 원기둥은 종이를 말아서 만들잖아요?

그러니까 원기둥은 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$이야. 주곡률이 $1/\textcolor{#0561ff}{r}$하고 $0$이라 곱하면 0이지. 원뿔도 모선 방향으로는 곧으니까 $\textcolor{#b8860b}{\kappa_2} = 0$이고 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$. 답은 (가), (나).

민준 학생은 어디서 막혔을까요?

"휘어 보인다"를 $\textcolor{#b8860b}{K} \neq 0$으로 읽었어요. 눈에 보이는 휘어짐은 주곡률 하나만 0이 아니어도 생기는데, $\textcolor{#b8860b}{K}$는 곱이라 하나만 0이어도 0이네요. 휘어 보이는 것과 $\textcolor{#b8860b}{K}$가 0이 아닌 건 다른 말이었어요.

발표 자료를 조교님께 보냈더니 "그림은 화려한데 내용은 지난주랑 똑같네"라고 하셨던 게 생각나요. 겉모양이 바뀐 거랑 내용이 바뀐 건 다르다는 거죠.

서연 학생, 그럼 공은 왜 안 될까요? "$\textcolor{#b8860b}{K}$가 달라서"라는 답 말고, 종이를 공에 대고 누르면 종이한테 무슨 일이 생기는지로요.

음… $\textcolor{#b8860b}{K}$가 보존되니까 $1/\textcolor{#0561ff}{r}^2$인 곡면에 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$인 종이를 붙일 수 없다, 말고는 잘 모르겠어요. 종이 입장이라는 게 뭔지.

종이에 반지름 $\rho$(로)인 원을 그리고, 그 원의 중심을 공의 꼭대기에 대고 감싼다고 해 봐요. 종이 위의 원 둘레는 $2\pi\rho$예요. 공 위에서 꼭대기로부터 거리가 $\rho$인 점들이 이루는 원의 둘레는요?

단위구라면 여위도(북극에서 잰 각도) $\rho$인 위도선이니까 $2\pi\sin\rho$예요. $\sin\rho < \rho$라서 종이의 원보다 짧아요.

아, 종이 가장자리가 공 위의 원보다 길어서 남는 거네요. 남는 종이가 갈 데가 없으니 겹치거나 주름이 져요. 반대로 말안장은 원 둘레가 $2\pi\rho$보다 길어서 종이가 모자라니까 찢어지고요.

그게 선물 포장할 때 공 모양 선물만 유독 주름투성이가 되는 이유예요. 원기둥은 둘레가 정확히 맞아서 깔끔하게 말리고요.

해석학에서 $\sin\rho = \rho - \rho^3/6 + \cdots$를 외우기만 했는데, 그 $\rho^3/6$이 남는 종이의 양이었군요.

그런데 (나)에는 「꼭짓점 제외」가 붙어 있었죠. 꼭짓점까지 넣으면 어떨까요? 공에서 한 것처럼 원의 중심을 꼭짓점에 대 봐요.

원뿔은 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$이라면서요. 꼭짓점도 원뿔의 한 점이니까 거기서도 원 둘레는 $2\pi\rho$겠죠.

반원 모양 종이를 말아 만든 원뿔로 해 보자. 꼭짓점에서 거리가 $\rho$인 점들은 반원의 호를 말아 붙인 거니까 둘레가 $\pi\rho$야. $\rho$가 1이든 0.001이든 언제나 $2\pi\rho$의 딱 절반이야.

공처럼 $\rho^3$으로 조금씩 모자라는 게 아니라, 아무리 작은 원이라도 처음부터 절반이 모자라네요. 그럼 꼭짓점에는 종이 원판을 댈 수가 없어요. 고깔모자를 만들 때 원이 아니라 부채꼴로 오려 내는 게 바로 그 모자란 몫이었어요.

그래요. 꼭짓점에서는 휘어짐이 한 점에 몰려 있어서 $\textcolor{#b8860b}{K}$를 숫자 하나로 적을 수 없어요. 그 한 점을 빼면 나머지는 어디서나 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$이라 종이로 감쌀 수 있고요. 단서 하나가 그 점을 가려 준 거예요.

문제 5 — 탁구공 껍질을 농구공에

같이 풀기 세션 5

이번엔 붙일 수 있을 것 같아요. 선물 포장 문제에서는 평평한 종이라서 안 됐던 거고, 이건 둘 다 공이라 $\textcolor{#b8860b}{K} > 0$이잖아요. 둘 다 볼록하니까 포개면 되죠.

선물 포장 문제에서 쓴 방법을 그대로 써 볼까요? 두 공 위에 같은 거리로 원을 그려 둘레를 견줘 봐요.

반지름 $\textcolor{#0561ff}{r}$인 공 위에서 거리 $\rho$인 원의 둘레는 $2\pi \textcolor{#0561ff}{r}\sin(\rho/\textcolor{#0561ff}{r})$니까… 탁구공은 $4\pi\sin 0.5 \approx 6.02$ cm, 농구공은 $24\pi\sin(1/12) \approx 6.28$ cm예요. 탁구공 쪽이 0.25 cm 짧아요.

그럼 탁구공 껍질에 그린 원이 농구공 위에서는 0.25 cm 더 길어져야 해. 늘어나지 않는 껍질이니 가장자리가 벌어지거나 찢어져야 하고.

부호만 같다고 되는 게 아니었네요. 탁구공은 $\textcolor{#b8860b}{K} = 1/4$, 농구공은 $1/144$로 값이 다르면 원 둘레가 달라지니까 못 붙여요.

원을 1 mm로 줄이면요? 작게 자른 조각이면 거의 평평하니 붙지 않을까요?

계산하면 탁구공 0.628057 cm, 농구공 0.628311 cm로 차이가 0.00025 cm예요. 반지름을 10분의 1로 줄였더니 차이는 1000분의 1로 줄었어요. $\rho^3$으로 줄어드는 거죠. 한없이 작아지지만 0은 아니에요. 가까이서 보면 비슷해 보여도 정확히 포개지지는 않아요.

해석학 시간에 "충분히 가깝다"와 "같다"를 구별하라고 배웠는데, 곡률이 다른 두 곡면이 딱 그 사이에 있네.