안에서만 보고도 휘어짐을 안다

곡률 재는 실험: 개미가 바깥 없이 하는 측정

공식은 계량을 아는 사람의 도구다. 계량을 모르는 개미가 자와 각도기만 들고 곡률을 알아낼 수는 없을까? "휘어짐을 재려면 바깥에 곧은 무언가가 있어야 하지 않나?"라는 물음에, 놀라운 정리는 필요 없다고 답한다. 실제로 곡면 위의 개미가 바깥을 보지 않고 할 수 있는 실험이 적어도 넷 있다.

1. 평행이동의 어긋남. 화살표를 곡면을 따라 돌리지 않고 옮기는 것(평행이동)을 닫힌 고리를 따라 하고 돌아오면, 휘어진 곳에서는 화살표가 돌아가 있다. 그 회전각은 고리가 감싼 곡률의 총량 $\Delta\theta = \iint K\,dA$다.
2. 삼각형 내각의 합. 측지선 셋으로 삼각형을 그리면 내각의 합이 $\pi$에서 벗어나는 만큼이 그 안의 곡률이다. 아래 따라 계산해 보기 2가 이 방법이다.
3. 원 둘레와 넓이의 결손. 한 점에서 측지 거리 $\rho$인 점들을 이은 원을 줄자로 잰다.
4. 측지선 편차. 나란히 출발한 두 측지선이 벌어지거나 좁혀지는 정도를 잰다.

역사: 세 봉우리를 잇는 삼각형

개미의 삼각형을 땅 위에서 실제로 잰 사람이 있다. 하노버 왕국의 측량을 맡은 가우스는 그 측량에서 가장 큰 삼각형, 곧 브로켄산, 호에하겐(괴팅겐 근처), 인젤스베르크산의 세 꼭대기를 잇는 삼각형의 세 각을 쟀다. 변의 길이는 약 69 km, 85 km, 107 km다. 위 식도 가우스가 1827년 논문에서 보인 것인데, 같은 논문에서 그는 이 삼각형의 내각 합이 180°를 넘는 몫을 14.85초로 적었다(1초는 1도의 3600분의 1이다). 지구 겉면이 둥글어서 생기는 몫이고, 논문에서 이 삼각형은 휜 곡면 위 삼각형을 계산하는 규칙이 실제 측량에서 얼마나 잘 맞는지 보여 주는 예로 쓰였다.

이 측정에는 널리 퍼진 이야기가 붙어 있다. 가우스가 이 삼각형으로 지구 겉면이 아니라 우리가 사는 공간 자체가 휘었는지를 시험했다는 것이다. 이야기의 출처는 가우스의 전기 작가 자르토리우스 폰 발터스하우젠의 기록인데, 1972년 과학사학자 아서 밀러가 과학사 학술지 『아이시스(Isis)』에서 이것을 「신화」라고 반박한 뒤로 역사가들 사이에서 지금도 의견이 갈린다. 가우스 자신이 그런 뜻을 밝힌 논문은 없다.

원 둘레와 나란한 측지선

네 번째 실험을 숫자로 먼저 보자. 적도 위에서 1 km 떨어진 두 점에서 나란히 북쪽으로 출발한 두 경도선은 둘 다 측지선이다. 평면이라면 1000 km를 가도 간격이 1 km 그대로지만, 반지름 6,371 km인 지구에서는 1000 km를 간 뒤 간격이 약 988 m, 12 m쯤 좁아져 있다. 개미는 두 줄 사이를 재기만 하면 된다. 세 번째와 네 번째 실험을 식으로 쓰면 다음과 같다.

평평하면 $\textcolor{#b8860b}{K} = 0$이라 둘레는 정확히 $2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}$이고, 두 측지선의 간격은 일정하게 벌어지거나 유지된다. 반지름 $\textcolor{#0561ff}{r}$인 구면이면 $\textcolor{#b8860b}{K} = 1/\textcolor{#0561ff}{r}^2$이라 적도에서 나란히 북쪽으로 출발한 두 경도선의 간격은 $\textcolor{#e8710a}{\xi}(\textcolor{#6314ff}{s}) = \textcolor{#e8710a}{\xi}_0\cos(\textcolor{#6314ff}{s}/\textcolor{#0561ff}{r})$로 줄어들어, $\textcolor{#6314ff}{s} = \pi \textcolor{#0561ff}{r}/2$인 북극에서 만난다. 앞의 12 m가 이 식에서 나온다.

물리학에서 이 네 번째 방법으로 재는 것이 조석력, 곧 가까이 있는 두 물체를 중력이 서로 다르게 끌어 벌리거나 좁히는 효과다.

네 방법 어디에도 "바깥에서 내려다보기"는 없다. 그래서 일반상대성이론이 "시공간이 휘었다"고 말할 때의 휘어짐은 바로 이 내재적 휘어짐이고, 우주를 담는 더 큰 공간은 이론에 등장하지도 않고 필요하지도 않다.

곡면 전체로 더하면: 가우스-보네 정리

둘째 실험의 삼각형 식은 곡면 전체로 넓힐 수 있다. 닫힌 곡면을 삼각형으로 빈틈없이 덮고, 삼각형마다의 식을 모두 더하는 것이다. 그 결과가 가우스-보네 정리다.

먼저 닫힌 상자로 세어 보자. 정육면체는 꼭짓점 8, 모서리 12, 면 6이라 $8 - 12 + 6 = 2$이고, 사면체는 $4 - 6 + 4 = 2$다. 모양은 달라도 구멍 없는 닫힌 곡면이면 이 수는 2로 같다. 이 수를 오일러 특성수 $\textcolor{#964079}{\chi}$(카이)라 부른다.

곡률도 세어 볼 수 있다. 정육면체의 면과 모서리는 종이처럼 평평하게 펼칠 수 있으니 곡률이 0이고, 곡률은 모두 꼭짓점에 모여 있다. 한 꼭짓점에는 정사각형 세 개가 모여 각이 270°라, 한 바퀴 360°에 90°($\pi/2$)가 모자란다. 이 모자란 각이 그 꼭짓점에 모인 곡률이다. 여덟 꼭짓점을 더하면 $8 \times \pi/2 = 4\pi$다. 사면체는 꼭짓점마다 정삼각형 세 개가 모여 180°라 $\pi$가 모자라고, 넷을 더하면 역시 $4\pi$다. 반지름 $\textcolor{#0561ff}{r}$인 구면도 $\textcolor{#b8860b}{K} = 1/\textcolor{#0561ff}{r}^2$에 넓이 $4\pi \textcolor{#0561ff}{r}^2$를 곱하면 $4\pi$다. 셋 모두 $4\pi = 2\pi \times 2$다.

다면체의 모자란 각을 모두 더하면 720°, 곧 $4\pi$가 된다는 것은 데카르트가 1630년 무렵 다면체에 관한 원고에 적어 두었다. 그 원고는 그가 죽은 뒤 파리로 옮기던 배가 센강에서 난파해 사흘 동안 물에 잠겼고, 1676년 라이프니츠가 베낀 사본만 남았다. 그 사본마저 잊혔다가 1860년 무렵 하노버에서 다시 나왔다. 닫힌 곡면이면 매끄럽든 모가 났든 언제나 이렇게 된다.

구면이면 $\textcolor{#964079}{\chi} = 2$, 토러스이면 $\textcolor{#964079}{\chi} = 0$이다. $\textcolor{#964079}{\chi}$는 곡면을 찢거나 붙이지 않는 한 아무리 구기고 늘여도 바뀌지 않는 위상 불변량이다. 위상(topology)은 무엇이 무엇 가까이 이어져 있는지를 말하는 성질이다. 국소적 기하(한 점 바로 근처에서 잰 곡률)를 모두 합하면 전역적 위상(오일러 특성수)이 튀어나온다 — 미분기하학에서 가장 아름다운 다리 중 하나다.

곁글 · 바깥에 나가 볼 수 없으면, 안에서 잰 것만으로 알아낸다

무엇의 모양이나 자리를 알고 싶을 때 가장 쉬운 길은 바깥에서 내려다보는 것이다. 그런데 바깥으로 나갈 수 없는 처지가 있다. 그럴 때는 바깥을 아쉬워하지 않고, 안에서 잴 수 있는 것을 끝까지 짜내 답을 만든다.

1958년 8월 1일 미국 잠수함 노틸러스호는 북극 얼음 밑으로 들어가, 한 번도 물 위로 떠오르지 않은 채 8월 3일 북극점을 지났다. 얼음 밑에서는 별을 볼 수 없고, 북위 85°를 넘으면 자기 나침반도 보통의 자이로 나침반도 믿을 수 없게 된다. 노틸러스호가 길을 잃지 않은 것은 배 안의 가속도계와 자이로스코프로 잰 움직임을 쉬지 않고 쌓아 자기 자리를 계산하는 관성 항법 장치를 실은 덕분이었다. 순항 미사일에 쓰던 장치를 배에 맞게 고친 것이었고, 높은 위도에서도 쓸 수 있게 따로 만든 자이로 나침반도 함께 실었다. 노틸러스호는 96시간 동안 약 2,940 km를 얼음 밑으로 간 뒤 그린란드 북동쪽에서 떠올랐다.

우주는 더 극단적이다. 나가서 내려다볼 바깥이 아예 없다. 그래도 우주 공간이 휘었는지는 물을 수 있다. 빅뱅 뒤 약 30만 년에 풀려난 빛(우주배경복사)에는 뜨겁고 차가운 얼룩이 남아 있는데, 그 얼룩의 실제 크기는 물리 법칙으로 계산되고 우리와의 거리도 알려져 있다. 공간이 평평하면 얼룩이 하늘에서 1도쯤으로 보이고, 공처럼 휘었으면 더 크게, 말안장처럼 휘었으면 더 작게 보인다. 우주 크기의 삼각형 하나의 각을 재는 셈이다. 1998년 남극 하늘에 풍선 망원경 부메랑(BOOMERanG)을 띄운 연구진은 그 관측으로 2000년 『네이처』에 「평평한 우주」라는 제목의 논문을 냈다.

곡면 위 개미의 네 실험도 이 짝이다. 개미는 바깥을 볼 수 없는 처지를 탓하지 않고, 자와 각도기로 잰 것에서 곡률을 꺼낸다.

문제 8 — 서울, 부산, 광주를 잇는 삼각형

같이 풀기 세션 8

따라 계산해 보기 2의 식대로 곡률 곱하기 넓이니까 $27000/6371^2 \approx 0.00067$이에요. 0.00067도 넘는 거면 측량 장비로는 어림도 없겠네요.

그 식의 왼쪽, 내각의 합은 어떤 단위로 적혀 있었죠?

라디안이요… 0.00067 라디안이니까 180/π를 곱하면 0.038도, 초로 바꾸면 약 137초, 2분 남짓이에요. 도로 읽어서 60배 가까이 작게 본 거예요.

가우스의 삼각형이 15초였으니까 9배쯤이야. 넓이도 27,000 대 2,900이라 9배쯤이고. 곡률이 어디서나 같으니 초과각이 넓이에 그대로 비례하네.

2분이면 가우스 시절 측량 기구로도 충분히 잡히는 크기예요. 한반도 남쪽만 한 삼각형만 그려도 지구가 둥글다는 게 각도에 나타나는 거죠.

미적분 시간에 삼각함수 극한을 라디안으로만 해야 한다고 한 이유를 여기서 또 보네. 각도가 넓이랑 곧바로 같아지는 건 라디안일 때뿐이야.

문제 9 — 축구공의 모자란 각

같이 풀기 세션 9

(가)는 $108 + 120 + 120 = 348$이니까 12°요. (나)는 오각형 꼭짓점 $12 \times 5 = 60$에 육각형 꼭짓점 $20 \times 6 = 120$, 합해서 180개예요. 그러면 (다)는 $180 \times 12 = 2160$°, $12\pi$네요. 정육면체랑 사면체는 $4\pi$였는데 축구공은 세 배예요.

공 모양은 구멍 없는 닫힌 곡면인데, 답만 세 배로 튀었네요. 꼭짓점 하나에 면이 몇 개 모였었죠?

셋이요… 면마다 꼭짓점을 셌으니 한 꼭짓점을 세 번씩 센 거예요. $180 / 3 = 60$개고, $60 \times 12 = 720$°, $4\pi$예요. 정육면체랑 같아요.

모서리도 같은 식으로 세면 오각형 변 60에 육각형 변 120을 두 면이 나눠 가지니 90개야. $60 - 90 + 32 = 2$, 오일러 특성수도 2고.

조별 과제에서 팀원마다 자기가 한 일을 적어 냈더니 합이 200%가 된 적이 있어요. 같이 한 일을 다들 자기 몫으로 셌던 거죠.

문제 10 — 줄자 하나로 지구의 곡률 재기

같이 풀기 세션 10

파이썬으로 $2\pi \textcolor{#0561ff}{R}\sin(\textcolor{#ff4314}{\rho}/\textcolor{#0561ff}{R})$을 계산했어요. $2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho} = 628.3185\,\text{km}$에서 약 $0.0258\,\text{km}$, 그러니까 26미터쯤 짧아요. 둘레 628킬로미터에서 26미터면 오차 수준이니까 사실상 평면이고, $\textcolor{#b8860b}{K} \approx 0$이라고 봐도 되지 않을까요?

26미터가 작은 건 맞아요. 그런데 $\textcolor{#ff4314}{\rho}$를 두 배로 늘리면 그 차이는 몇 배가 될까요?

돌려 볼게요… $\textcolor{#ff4314}{\rho} = 200\,\text{km}$면 약 $0.2064\,\text{km}$, 여덟 배예요. $\textcolor{#ff4314}{\rho}^3$으로 크네요. 그러면 작은 건 $\textcolor{#ff4314}{\rho}$가 작아서 그런 거지 곡률이 없어서가 아니네요.

전개해 보면 알 수 있어. $2\pi \textcolor{#0561ff}{R}\sin(\textcolor{#ff4314}{\rho}/\textcolor{#0561ff}{R}) = 2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho} - \dfrac{\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}^3}{3\textcolor{#0561ff}{R}^2} + \cdots$이니까 차이의 첫 항이 $\pi\textcolor{#ff4314}{\rho}^3 \textcolor{#b8860b}{K}/3$이야. 그러면 $\textcolor{#b8860b}{K}$를 거꾸로 꺼낼 수 있지.

$$\textcolor{#b8860b}{K} = \lim_{\rho \to 0}\ \frac{3\,\big(2\pi\textcolor{#ff4314}{\rho} - \textcolor{#6b672e}{C}(\textcolor{#ff4314}{\rho})\big)}{\pi \textcolor{#ff4314}{\rho}^3}$$

$$\begin{array}{ll} \textcolor{#b8860b}{K} & \text{원의 중심에서의 가우스 곡률} \\ \textcolor{#6b672e}{C}(\textcolor{#ff4314}{\rho}) & \text{곡면을 따라 거리 } \textcolor{#ff4314}{\rho} \text{ 인 점들이 이루는 원의 둘레} \\ \textcolor{#ff4314}{\rho} & \text{원의 반지름 (곡면 위에서 잰 거리)} \end{array}$$

제 숫자 $0.0258$을 넣으면 $3 \times 0.0258 / (\pi \times 10^6) \approx 2.46 \times 10^{-8}\,\text{km}^{-2}$, 그러니까 $1/6371^2$이 나와요! 반지름으로 되돌리면 6371 km예요. 26미터짜리 차이에 지구 반지름이 다 들어 있었네요.

학습 곡선에서 loss가 조금밖에 안 줄어서 “안 배우네” 했다가, 조교님이 로그 스케일로 다시 그려 보라고 하셨던 거랑 같아요. 작은 차이를 무시하지 말고 어떤 속도로 크는지 봐야 하는 거죠.

그런데 (3)번은 안 될 것 같아. 이건 구처럼 $\textcolor{#b8860b}{K}$가 어디서나 같을 때 둘레 공식을 알아서 되는 거잖아. $\textcolor{#b8860b}{K}$가 점마다 다르면 원이 지나는 곳마다 곡률이 달라서 이 식이 성립하지 않을 거야.

식에 $\textcolor{#ff4314}{\rho} \to 0$ 극한이 붙어 있는 걸 보세요. 원을 한없이 줄이면 원이 지나는 곳은 어디가 되죠?

전부 중심 근처로 모여요. 곡률이 점마다 달라도 매끄럽게 변하니까, 원이 충분히 작으면 원 안의 곡률은 중심의 곡률과 거의 같아요. 그러면 극한값은 중심에서의 $\textcolor{#b8860b}{K}$가 되겠네요. 이 식은 구 전용이 아니라, 곡률을 “그 점에서” 재는 식이었어요.

그래요. 이 식은 1848년 베르트랑, 디게, 퓌죄가 「가우스의 한 정리의 증명」이라는 논문에서 증명한 것으로, 가우스 곡률을 곡면 위의 줄자만으로 정의하는 방법이에요. 이 장의 제목 "안에서만 보고도 휘어짐을 안다"가 문자 그대로 계산이 된 거죠.

미적분 시간에 미분계수를 "구간을 한없이 줄인 평균 변화율"로 배운 것과 같은 구조네요. 넓은 원의 둘레가 모자란 정도는 원 안 곡률의 평균 같은 거고, 극한을 취하면 그 점의 곡률이 되는 거예요.