안에서만 보고도 휘어짐을 안다
곡률 공식: 계량 성분만으로 곡률 계산하기
바로 앞의 정규분포들의 공간처럼, 바깥 없이 계량만 주어진 공간을 만날 때마다 그 계량에서 곡률을 직접 계산해 내야 한다. 곡률이 계량만으로 정해진다면, 계량 성분을 실제로 어떻게 조합해야 K K K
가장 쉬운 경우부터 보자. 곡면 위 한 점에서 곡면을 따라 거리 u u u u u u v v v d s 2 = d u 2 + G d v 2 ds^2 = du^2 + G\,dv^2 d s 2 = d u 2 + G d v 2 G G G v v v u u u 2 π 2\pi 2 π 2 π G 2\pi\sqrt{G} 2 π G 2 π G 2\pi\sqrt{G} 2 π G G \sqrt{G} G
곡면
둘레 눈금 G \sqrt{G} G
u = 0.1 u = 0.1 u = 0.1 u u u K K K
평면
u u u 0.62832
곧게 는다
0
반지름 1인 구면
sin u \sin u sin u 0.62727 (짧다)
점점 덜 는다
+ 1 +1 + 1
어디서나 말안장처럼 휜 곡면
sinh u \sinh u sinh u 0.62937 (길다)
점점 더 빨리 는다
− 1 -1 − 1
sinh u \sinh u sinh u ( e u − e − u ) / 2 (e^u - e^{-u})/2 ( e u − e − u ) /2 sin u \sin u sin u u u u u u u sin u \sin u sin u u u u
중심에서 곡면을 따라 거리 u인 원의 둘레. 가로축은 u, 세로축은 둘레. 평면은 곧게(2πu), 반지름 1인 구면은 점점 덜(2π sin u), 말안장처럼 휜 곡면은 점점 더 빨리(2π sinh u) 는다 둘레 눈금이 곧게 늘면 평평하고, 느는 속도가 줄면 양의 곡률, 빨라지면 음의 곡률이다. 속도의 변화는 두 번 미분한 값이므로 한 식으로 쓰면 K = − ( G ) ′ ′ / G K = -(\sqrt{G})''/\sqrt{G} K = − ( G ) ′′ / G u u u sin u \sin u sin u − sin u -\sin u − sin u K = 1 K = 1 K = 1
일반적인 계량의 곡률 공식(브리오스키 공식)은 꽤 복잡하다. 좌표선이 서로 수직으로 만나서 d s 2 = E d u 2 + G d v 2 ds^2 = E\,du^2 + G\,dv^2 d s 2 = E d u 2 + G d v 2 E E E
K = − 1 2 E G [ ∂ ∂ u ( ∂ u G E G ) + ∂ ∂ v ( ∂ v E E G ) ]
\textcolor{#b8860b}{K} = -\frac{1}{2\sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}}}\left[\frac{\partial}{\partial \textcolor{#1b9e77}{u}}\left(\frac{\partial_{\textcolor{#1b9e77}{u}} \textcolor{#d62728}{G}}{\sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}}}\right) + \frac{\partial}{\partial \textcolor{#1b9e77}{v}}\left(\frac{\partial_{\textcolor{#1b9e77}{v}} \textcolor{#d62728}{E}}{\sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}}}\right)\right]
K = − 2 E G 1 [ ∂ u ∂ ( E G ∂ u G ) + ∂ v ∂ ( E G ∂ v E ) ] K 가우스 곡률 u , v 좌표선이 서로 수직으로 만나는 좌표 E , G 계량 성분: d s 2 = E d u 2 + G d v 2 ∂ u , ∂ v 편미분
\begin{array}{ll}
\textcolor{#b8860b}{K} & \text{가우스 곡률} \\
\textcolor{#1b9e77}{u}, \textcolor{#1b9e77}{v} & \text{좌표선이 서로 수직으로 만나는 좌표} \\
\textcolor{#d62728}{E}, \textcolor{#d62728}{G} & \text{계량 성분: } \textcolor{#d62728}{ds}^2 = \textcolor{#d62728}{E}\,d\textcolor{#1b9e77}{u}^2 + \textcolor{#d62728}{G}\,d\textcolor{#1b9e77}{v}^2 \\
\partial_{\textcolor{#1b9e77}{u}}, \partial_{\textcolor{#1b9e77}{v}} & \text{편미분}
\end{array}
K u , v E , G ∂ u , ∂ v 가우스 곡률 좌표선이 서로 수직으로 만나는 좌표 계량 성분 : d s 2 = E d u 2 + G d v 2 편미분 공식에는 계량 성분 E \textcolor{#d62728}{E} E G \textcolor{#d62728}{G} G n \textcolor{#c4724f}{n} n
따라 계산해 보기 1 — 구면에 공식 적용하기
반지름 r \textcolor{#0561ff}{r} r u \textcolor{#1b9e77}{u} u v \textcolor{#1b9e77}{v} v d s 2 = r 2 d u 2 + r 2 sin 2 u d v 2 \textcolor{#d62728}{ds}^2 = \textcolor{#0561ff}{r}^2\,d\textcolor{#1b9e77}{u}^2 + \textcolor{#0561ff}{r}^2\sin^2 \textcolor{#1b9e77}{u}\,d\textcolor{#1b9e77}{v}^2 d s 2 = r 2 d u 2 + r 2 sin 2 u d v 2 E = r 2 \textcolor{#d62728}{E} = \textcolor{#0561ff}{r}^2 E = r 2 G = r 2 sin 2 u \textcolor{#d62728}{G} = \textcolor{#0561ff}{r}^2\sin^2 \textcolor{#1b9e77}{u} G = r 2 sin 2 u E G = r 2 sin u \sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}} = \textcolor{#0561ff}{r}^2 \sin \textcolor{#1b9e77}{u} E G = r 2 sin u ∂ u G = 2 r 2 sin u cos u \partial_u \textcolor{#d62728}{G} = 2\textcolor{#0561ff}{r}^2 \sin \textcolor{#1b9e77}{u}\cos \textcolor{#1b9e77}{u} ∂ u G = 2 r 2 sin u cos u ∂ v E = 0 \partial_v \textcolor{#d62728}{E} = 0 ∂ v E = 0
∂ u G E G = 2 cos u , K = − 1 2 r 2 sin u ∂ ∂ u ( 2 cos u ) = − − 2 sin u 2 r 2 sin u = 1 r 2
\frac{\partial_{\textcolor{#1b9e77}{u}} \textcolor{#d62728}{G}}{\sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}}} = 2\cos \textcolor{#1b9e77}{u}, \qquad
\textcolor{#b8860b}{K} = -\frac{1}{2\textcolor{#0561ff}{r}^2\sin \textcolor{#1b9e77}{u}}\,\frac{\partial}{\partial \textcolor{#1b9e77}{u}}(2\cos \textcolor{#1b9e77}{u}) = -\frac{-2\sin \textcolor{#1b9e77}{u}}{2\textcolor{#0561ff}{r}^2\sin \textcolor{#1b9e77}{u}} = \frac{1}{\textcolor{#0561ff}{r}^2}
E G ∂ u G = 2 cos u , K = − 2 r 2 sin u 1 ∂ u ∂ ( 2 cos u ) = − 2 r 2 sin u − 2 sin u = r 2 1 u , v 여위도, 경도 E = r 2 , G = r 2 sin 2 u 구면의 계량 성분 K 가우스 곡률 r 구의 반지름
\begin{array}{ll}
\textcolor{#1b9e77}{u}, \textcolor{#1b9e77}{v} & \text{여위도, 경도} \\
\textcolor{#d62728}{E} = \textcolor{#0561ff}{r}^2,\ \textcolor{#d62728}{G} = \textcolor{#0561ff}{r}^2\sin^2\textcolor{#1b9e77}{u} & \text{구면의 계량 성분} \\
\textcolor{#b8860b}{K} & \text{가우스 곡률} \\
\textcolor{#0561ff}{r} & \text{구의 반지름}
\end{array}
u , v E = r 2 , G = r 2 sin 2 u K r 여위도 , 경도 구면의 계량 성분 가우스 곡률 구의 반지름 밖에서 본 주곡률로 구한 값 κ 1 κ 2 = ( 1 / r ) ( 1 / r ) \textcolor{#b8860b}{\kappa_1}\textcolor{#b8860b}{\kappa_2} = (1/\textcolor{#0561ff}{r})(1/\textcolor{#0561ff}{r}) κ 1 κ 2 = ( 1/ r ) ( 1/ r )
같은 공식을 극좌표로 쓴 평면 d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 \textcolor{#d62728}{ds}^2 = d\textcolor{#1b9e77}{r}^2 + \textcolor{#1b9e77}{r}^2 d\textcolor{#1b9e77}{\theta}^2 d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 E = 1 \textcolor{#d62728}{E} = 1 E = 1 G = r 2 \textcolor{#d62728}{G} = \textcolor{#1b9e77}{r}^2 G = r 2 ∂ r G / E G = 2 \partial_r \textcolor{#d62728}{G}/\sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}} = 2 ∂ r G / E G = 2 K = 0 \textcolor{#b8860b}{K} = 0 K = 0
문제 6 — 성분이 변하는 계량은 휘었을까
계산 윗반평면 { ( x , y ) : y > 0 } \{(\textcolor{#1b9e77}{x}, \textcolor{#1b9e77}{y}) : \textcolor{#1b9e77}{y} > 0\} {( x , y ) : y > 0 } d s 2 = d x 2 + d y 2 y 2 \textcolor{#d62728}{ds}^2 = \dfrac{d\textcolor{#1b9e77}{x}^2 + d\textcolor{#1b9e77}{y}^2}{\textcolor{#1b9e77}{y}^2} d s 2 = y 2 d x 2 + d y 2
같이 풀기 세션 6
김민준 이건 금방이에요. E = G = 1 / y 2 \textcolor{#d62728}{E} = \textcolor{#d62728}{G} = 1/\textcolor{#1b9e77}{y}^2 E = G = 1/ y 2 K = 0 \textcolor{#b8860b}{K} = 0 K = 0
이서연 각도가 같다고 해서 삼각형이 같다는 보장은 없잖아. 여기서 “직선”, 곧 측지선은 평면의 직선이 아닐 수도 있고.
선생님 민준 학생, 각도를 평면과 똑같이 맞춰 그린 지도가 하나 있었죠. 메르카토르 지도요. 그 지도가 각도를 맞췄으니 지구도 평평하다고 할 수 있나요?
김민준 아니요… 각도만 맞췄지 거리는 틀린 지도였죠. 그럼 추측하지 말고 공식에 넣어 볼게요. E G = 1 / y 2 \sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}} = 1/\textcolor{#1b9e77}{y}^2 E G = 1/ y 2 G \textcolor{#d62728}{G} G x \textcolor{#1b9e77}{x} x ∂ y E = − 2 / y 3 \partial_y \textcolor{#d62728}{E} = -2/\textcolor{#1b9e77}{y}^3 ∂ y E = − 2/ y 3 ∂ y E / E G = − 2 / y \partial_y \textcolor{#d62728}{E}/\sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}} = -2/\textcolor{#1b9e77}{y} ∂ y E / E G = − 2/ y y \textcolor{#1b9e77}{y} y 2 / y 2 2/\textcolor{#1b9e77}{y}^2 2/ y 2
K = − 1 2 E G [ 0 + ∂ ∂ y ( − 2 y ) ] = − y 2 2 ⋅ 2 y 2 = − 1
\textcolor{#b8860b}{K} = -\frac{1}{2\sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}}}\left[0 + \frac{\partial}{\partial \textcolor{#1b9e77}{y}}\left(-\frac{2}{\textcolor{#1b9e77}{y}}\right)\right] = -\frac{\textcolor{#1b9e77}{y}^2}{2}\cdot\frac{2}{\textcolor{#1b9e77}{y}^2} = -1
K = − 2 E G 1 [ 0 + ∂ y ∂ ( − y 2 ) ] = − 2 y 2 ⋅ y 2 2 = − 1 x , y 반평면의 좌표 E = G = 1 / y 2 계량 성분 K 가우스 곡률
\begin{array}{ll}
\textcolor{#1b9e77}{x}, \textcolor{#1b9e77}{y} & \text{반평면의 좌표} \\
\textcolor{#d62728}{E} = \textcolor{#d62728}{G} = 1/\textcolor{#1b9e77}{y}^2 & \text{계량 성분} \\
\textcolor{#b8860b}{K} & \text{가우스 곡률}
\end{array}
x , y E = G = 1/ y 2 K 반평면의 좌표 계량 성분 가우스 곡률 김민준 − 1 -1 − 1 − 1 -1 − 1
선생님 각도만 같게 그리는 지도를 등각 지도라고 해요. 이 반평면의 계량도 등각 지도처럼 각도는 평면과 같게 보여 주지만, 그 안에 담긴 공간은 어디서나 말안장처럼 휘어 있었던 거예요. 각도가 맞는다고 평평한 건 아니라는 증거가 세계지도에 이미 있었던 셈이죠.
김민준 조교님이 보고서 표지 양식만 맞췄다고 통과시켜 주진 않으셨죠. 각도라는 양식이 맞아도 길이라는 본문이 다르면 다른 보고서네요.
이서연 앞에서 본 극좌표 평면도 G = r 2 \textcolor{#d62728}{G} = \textcolor{#1b9e77}{r}^2 G = r 2 K = 0 \textcolor{#b8860b}{K} = 0 K = 0
문제 7 — 정규분포들의 공간은 얼마나 휘었나
계산 평균 μ \textcolor{#1b9e77}{\mu} μ σ \textcolor{#1b9e77}{\sigma} σ N ( μ , σ 2 ) N(\textcolor{#1b9e77}{\mu}, \textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2) N ( μ , σ 2 ) d s 2 = d μ 2 + 2 d σ 2 σ 2 \textcolor{#d62728}{ds}^2 = \dfrac{d\textcolor{#1b9e77}{\mu}^2 + 2\,d\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2}{\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2} d s 2 = σ 2 d μ 2 + 2 d σ 2 σ > 0 \textcolor{#1b9e77}{\sigma} > 0 σ > 0
같이 풀기 세션 7
김민준 문제 6이랑 똑같이 생겼어요. 둘 다 σ 2 \textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2 σ 2 K = − 1 \textcolor{#b8860b}{K} = -1 K = − 1
선생님 d σ 2 d\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2 d σ 2
김민준 아… 그럼 E = 1 / σ 2 \textcolor{#d62728}{E} = 1/\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2 E = 1/ σ 2 G = 2 / σ 2 \textcolor{#d62728}{G} = 2/\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2 G = 2/ σ 2 E G = 2 / σ 2 \sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}} = \sqrt{2}/\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2 E G = 2 / σ 2 G \textcolor{#d62728}{G} G μ \textcolor{#1b9e77}{\mu} μ ∂ σ E / E G = ( − 2 / σ 3 ) / ( 2 / σ 2 ) = − 2 / σ \partial_\sigma \textcolor{#d62728}{E}/\sqrt{\textcolor{#d62728}{E}\textcolor{#d62728}{G}} = (-2/\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^3)/(\sqrt{2}/\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2) = -\sqrt{2}/\textcolor{#1b9e77}{\sigma} ∂ σ E / E G = ( − 2/ σ 3 ) / ( 2 / σ 2 ) = − 2 / σ σ \textcolor{#1b9e77}{\sigma} σ 2 / σ 2 \sqrt{2}/\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2 2 / σ 2 K = − σ 2 2 2 ⋅ 2 σ 2 = − 1 2 \textcolor{#b8860b}{K} = -\dfrac{\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2} = -\dfrac{1}{2} K = − 2 2 σ 2 ⋅ σ 2 2 = − 2 1
이서연 새 좌표 x = μ / 2 x = \textcolor{#1b9e77}{\mu}/\sqrt{2} x = μ / 2 d μ 2 = 2 d x 2 d\textcolor{#1b9e77}{\mu}^2 = 2\,dx^2 d μ 2 = 2 d x 2 d s 2 = 2 ( d x 2 + d σ 2 ) / σ 2 \textcolor{#d62728}{ds}^2 = 2\,(dx^2 + d\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2)/\textcolor{#1b9e77}{\sigma}^2 d s 2 = 2 ( d x 2 + d σ 2 ) / σ 2 2 \sqrt{2} 2 2 \sqrt{2} 2 − 1 -1 − 1 − 1 / 2 -1/2 − 1/2
선생님 그래요. 같은 점은 어디서나 같은 음수라는 것, 다른 점은 그 크기예요. 정규분포들의 공간이 어디서나 말안장처럼 휘어 있다는 건 모델을 학습시킬 때 무엇을 뜻할까요?
김민준 평균과 표준편차를 따로따로 곧게 옮기는 길이 두 분포 사이의 가장 짧은 길이 아닐 수도 있다는 거요?
선생님 맞아요. 이 공간에서 두 분포를 잇는 가장 짧은 길은 대개 곧지 않고, 표준편차가 큰 쪽으로 부풀어 돌아가는 반원 모양이에요. 바깥에서 내려다볼 수 없는 공간인데도 계량만으로 그 휘어짐을 숫자로 잰 거죠.
김민준 과제에서 채점 기준표에 점수 칸 하나가 두 배로 잡혀 있어서 총점이 이상하게 나온 적이 있어요. 칸 하나의 눈금만 달라져도 전체 모양이 바뀌네요.
