안에서만 보고도 휘어짐을 안다
자주 하는 실수와 요약
자주 하는 실수
| 실수 |
나온 문제 |
바로잡는 법 |
| 두 공의 곡률 비를 반지름 비로 봄 |
1 |
K는 주곡률 둘의 곱이라 반지름 비의 제곱으로 달라진다(6배 → 36배) |
| 도넛 안쪽 점도 볼록하다고 보아 K>0으로 셈 |
2 |
안쪽에서는 축 둘레 방향으로 오목하다(주곡률 −1/2). 말안장이라 K<0 |
| 헤세 행렬의 대각 성분이 양수이니 극소라고 봄 |
3 |
고윳값(주곡률)을 본다. 곱 K<0이면 안장이다 |
| 그래디언트가 0이 되어 손실이 멈추면 학습이 끝났다고 봄 |
3 |
안장 근처에서는 손실이 한참 평평하다가 음수인 주곡률 방향으로 빠져나간다 |
| 휘어 보이면 K=0이라고 봄 |
4 |
K는 두 주곡률의 곱. 원기둥·원뿔처럼 한 방향이 곧으면 K=0 |
| 공을 감쌀 수 없는 이유를 "K가 달라서"로만 말함 |
4 |
종이에 그린 원과 공 위의 원 둘레를 비교한다. 공 위의 원이 2πsinρ로 짧아 종이가 남는다 |
| 원뿔의 꼭짓점도 K=0인 보통의 점으로 봄 |
4 |
꼭짓점 둘레의 원은 아무리 작아도 같은 비율로 짧다. 휘어짐이 한 점에 몰려 있다 |
| K의 부호만 같으면 조각을 붙일 수 있다고 봄 |
5 |
값이 다르면 원 둘레가 달라진다. 조각을 작게 해도 차이는 ρ3으로 줄 뿐 0이 되지 않는다 |
| 두 방향 눈금이 같으면(등각) 평평하다고 봄 |
6 |
각도가 맞아도 길이가 다르면 곡률이 다르다. 공식에 넣어 본다(푸앵카레 반평면은 K=−1) |
| 계량의 꼴이 비슷하다고 곡률이 같다고 봄 |
7 |
계량 성분의 상수배를 빠뜨리지 않는다. 계량 전체가 두 배면 곡률은 절반이다 |
| 라디안으로 나온 초과각을 도로 읽음 |
8 |
삼각형 식의 각은 라디안이다. 도로 바꾸려면 180/π를 곱한다 |
| 면마다 꼭짓점을 세어 같은 꼭짓점을 여러 번 셈 |
9 |
한 꼭짓점에 모이는 면의 수로 나눈다 |
| 원 둘레 차이가 작으니 K≈0이라고 봄 |
10 |
차이가 ρ3으로 크는 속도를 본다. 계수에서 K를 꺼낸다 |
| 곡률이 점마다 다르면 둘레 공식을 못 쓴다고 봄 |
10 |
ρ→0 극한이면 원은 중심 근처로 모이고, 극한값은 중심의 K |
요약
곡면은 한 점에서 방향마다 휘는 정도가 다르고, 그 최대·최소가 주곡률 κ1, κ2, 곱이 가우스 곡률 K다. 도넛처럼 한 곡면 위에서도 점마다 K의 부호가 바뀔 수 있고, 손실 곡면에서 K<0인 임계점은 학습을 붙잡는 안장이다. 주곡률은 밖에서 봐야 알지만, 가우스의 놀라운 정리에 따르면 K는 계량과 그 미분만으로 정해지는 내재적 양이다. 그래서 종이는 원기둥으로는 말리지만 구면으로는 펴지지 않고, 어떤 세계지도도 거리를 모두 지킬 수 없다. 좌표선이 수직으로 만나는 좌표에서는 계량 성분 E, G로 K를 바로 계산할 수 있고, 바깥이 없는 정규분포들의 공간도 이렇게 재면 어디서나 같은 음의 곡률을 가진다. 계량을 모르는 개미도 삼각형의 내각, 원의 둘레, 나란한 측지선의 간격으로 K를 잴 수 있다. 곡면 전체의 K를 더하면 위상 불변량 2πχ가 된다.
연결되는 세계들
아래 표의 낱말 가운데 이 책에서 다루지 않은 것은 더 찾아볼 때의 검색어로 적었다.
| 분야 |
연결 |
| 위상수학 |
가우스-보네 정리: ∬KdA=2πχ(M) |
| 건축/공학 |
셸 구조물 설계: K>0 (돔), K<0 (안장 지붕), K=0 (판) |
| 생물학 |
세포막의 곡률이 단백질이 어디에 모이는지를 정한다 |
| 지도학 |
가우스 곡률이 0이 아닌 곡면은 등거리적으로 평면에 펼칠 수 없다 |
| 정보기하학 |
분포들의 공간(통계적 매니폴드)도 피셔 정보를 계량으로 삼으면 곡률을 잴 수 있다 |
| 최적화 |
손실 곡면의 안장점과 평지, 음의 곡률 방향으로 빠져나가는 방법 |
막힌 곳
2차원 곡면에서는 한 점의 휘어짐이 숫자 K 하나로 요약됐다. 그런데 3차원 이상의 공간에서는 한 점을 지나는 평면의 방향이 무수히 많고, 방향마다 휘는 정도가 다를 수 있다. 그 많은 정보를 숫자 몇 개로 줄여 말할 수 있을까? 이 질문에는 아직 답하지 못했다.