곡률을 요약하는 법

스칼라 곡률: 한 점의 휘어짐을 숫자 하나로

4차원에서 리치 텐서는 성분이 10개다. 20개보다는 적지만 여전히 많다. 반 전체 성적을 총점 하나로 말하듯, 한 점의 휘어짐을 숫자 하나로 말할 수는 없을까?

가장 쉬운 방법은 서로 수직인 방향마다 리치 값을 재어 모두 더하는 것이다. 반지름 1인 구면에서는 어느 방향이든 그 방향을 품는 평면이 구면 자신 하나뿐이라 리치 값이 1이고, 수직인 두 방향을 더하면 2다. 구면 × 직선(반지름 1인 구면의 각 점에 위아래로 곧은 직선을 붙인 공간)에서는 구면 쪽 두 방향의 1, 1과 직선 방향의 0을 더해 역시 2다. 성분으로 쓰면 리치 텐서를 계량으로 한 번 더 축약하는 일이고, 그렇게 나온 숫자 하나가 스칼라 곡률이다.

10개의 정보를 1개로 압축했으니 더 많은 것을 잃지만, 대신 "이 점에서 공간이 전체적으로 얼마나 휘어 있는가"라는 가장 거친 요약을 얻는다. 학급 전체의 성적을 총점 한 숫자로 요약하는 것과 같다. 같은 글자 $R$이 첨자 개수에 따라 세 가지 다른 대상을 가리킨다는 점에 주의하자. 이 장의 수식에서는 셋을 서로 다른 색으로 구분한다.

이 축약의 계층 — 리만(4차) → 리치(2차) → 스칼라(0차) — 은 곡률 정보의 자연스러운 압축 경로다. 단계마다 재는 것이 달라진다. 리만 곡률은 평면마다의 휘어짐을, 리치 곡률은 방향마다 측지선 묶음의 부피가 줄어드는 빠르기를, 스칼라 곡률은 아래에서 보듯 작은 공 전체의 부피가 평평한 공간보다 얼마나 모자라는지를 잰다.

• 스칼라 곡률 (전체 휘어짐의 한 숫자 요약 / Scalar Curvature, $\textcolor{#4d8a12}{R} = \textcolor{#d62728}{g}^{ij}\textcolor{#5c5ab0}{R}_{ij}$) — 리치 텐서를 계량으로 한 번 더 축약한 것. 한 점에서의 곡률을 하나의 숫자로 요약한다. 서로 수직인 방향마다 잰 리치 값의 합이다(평균이 아니라 합이며, 두 주곡률의 평균인 '평균곡률’과도 다른 양이다). 2차원에서는 스칼라 곡률이 가우스 곡률의 2배와 같으므로, 스칼라 곡률 하나로 곡률의 모든 정보가 담긴다. 하지만 3차원 이상에서는 정보 손실이 불가피하다.

측지 공의 부피로 읽기

반지름 1인 구면 위에 반지름 0.1인 원판을 그려 보자. 넓이는 $2\pi(1-\cos 0.1) \approx 0.031390$으로, 평면 위 같은 반지름의 원판 $\pi \times 0.1^2 \approx 0.031416$보다 0.083% 작다. 이 0.083%는 $0.1^2/12$다. 스칼라 곡률은 이런 모자람을 한 숫자로 잰다.

한 점 $p$에서 모든 방향으로 거리 $\textcolor{#b95b64}{\epsilon}$ 이내인 점들을 모은 것을 측지 공(geodesic ball, 곡면 위에서는 측지 원판)이라 부른다. 기호로는 $B_{\textcolor{#b95b64}{\epsilon}}(p)$로 적고($B$는 ball의 머리글자), 그 부피는 앞에 $\text{Vol}$을 붙여 적는다($\text{Vol}$은 세 글자의 곱이 아니라 부피를 뜻하는 volume의 줄임이다). 평평한 공간에서 이 공의 부피는 $\textcolor{#3c7b8b}{\omega_n} \textcolor{#b95b64}{\epsilon}^n$이다($\textcolor{#3c7b8b}{\omega_n}$은 $\textcolor{#c4724f}{n}$차원 단위공의 부피, $\omega$는 오메가). 하지만 곡률이 있으면 부피가 달라진다:

스칼라 곡률이 양수이면 측지 공의 부피가 유클리드 공간에서보다 작다. 공간이 무언가 움직인다는 뜻이 아니라, 같은 반지름 안에 들어가는 부피가 모자란다는 뜻이다. 반대로 곡률이 어디서나 같은 음수인 공간(쌍곡 공간)에서는 측지 공의 부피가 더 크다. 반지름 1인 구면은 $\textcolor{#c4724f}{n} = 2$, $\textcolor{#4d8a12}{R} = 2$라 보정 항이 $2\textcolor{#b95b64}{\epsilon}^2/(6 \cdot 4) = \textcolor{#b95b64}{\epsilon}^2/12$가 되어, 앞의 $0.1^2/12$와 맞는다.

아래 그림은 곡률 $\textcolor{#b8860b}{K}$인 곡면 위에 반지름이 같은 측지 원판을 그리고, 평면의 원판과 넓이를 비교한다. 곡률을 양수 쪽으로 밀면 원판이 모자라고, 음수 쪽으로 밀면 넘친다. 부피 공식의 보정 항 $-\frac{\textcolor{#4d8a12}{R}}{24}\textcolor{#b95b64}{\epsilon}^2$이 실제 넓이와 얼마나 잘 맞는지도 함께 보자. 차원을 3으로 바꾸면 3차원 공간의 측지 공 부피로 같은 비교를 한다.

문제 4 — 평면 지도로 잰 땅 넓이

같이 풀기 세션 4

반지름 0.1이면 $0.1^2/12$만큼 모자란다고 했으니까, $1000^2/12$ … 8만 3천 %요?

넓이가 8만 % 넘게 모자라면 땅이 음수가 되겠네요. 본문의 0.1은 반지름이 얼마인 구에서 잰 거리였죠?

반지름 1인 구요. 그러니 지구에서는 1000을 6371로 나눈 0.157을 넣어야 해요. $0.157^2/12 \approx 0.0021$, 0.2% 조금 넘게 모자라요.

도구에서 불러오기를 누르니까 정확한 넓이 0.0772, 평면 공식 0.0774예요. 정말 0.2%쯤이네요. km²로는 $\pi \times 1000^2 \times 0.0021$, 6,400 km²쯤 차이 나요.

정확히 계산하면 6,445 km² 정도예요. 비율은 작아도 넓이로는 꽤 크죠.

테일러 전개는 작은 수에서만 쓰라던 게 이거였네. 1000은 작은 수가 아니지만, 반지름으로 나눈 0.157은 작은 수야.

문제 5 — 3차원 구면의 스칼라 곡률

같이 풀기 세션 5

스칼라 곡률은 대각합이니까 리치 텐서 대각 성분을 더하면 되죠? 좌표를 $(\textcolor{#1b9e77}{\chi}, \textcolor{#1b9e77}{\theta}, \textcolor{#1b9e77}{\phi})$로 잡으면 $\textcolor{#d62728}{g} = \textcolor{#0561ff}{r}^2\,\mathrm{diag}(1,\ \sin^2\textcolor{#1b9e77}{\chi},\ \sin^2\textcolor{#1b9e77}{\chi}\sin^2\textcolor{#1b9e77}{\theta})$라서 $\textcolor{#4d8a12}{R} = 2(1 + \sin^2\textcolor{#1b9e77}{\chi} + \sin^2\textcolor{#1b9e77}{\chi}\sin^2\textcolor{#1b9e77}{\theta})$가 나와요.

잠깐, 그러면 $\textcolor{#4d8a12}{R}$이 위치마다 달라지잖아. 구면은 어느 점이나 똑같이 생겼는데.

좋은 경보예요. 민준 학생, 행렬의 대각합은 어떤 행렬에 대해서 정의되는 거죠? 성분을 그냥 더해도 되는 건 언제예요?

선형대수에서는… 같은 공간에서 같은 공간으로 가는 선형 변환의 대각합이요. $\textcolor{#5c5ab0}{R}_{ij}$는 첨자가 둘 다 아래에 있으니까 그대로는 그런 행렬이 아니네요. 먼저 $\textcolor{#d62728}{g}^{ij}$를 곱해서 첨자 하나를 올려야 하고요.

그러면 $\textcolor{#4d8a12}{R} = \textcolor{#d62728}{g}^{ij}\textcolor{#5c5ab0}{R}_{ij} = \frac{2}{\textcolor{#0561ff}{r}^2}\, \textcolor{#d62728}{g}^{ij}\textcolor{#d62728}{g}_{ij} = \frac{2}{\textcolor{#0561ff}{r}^2}\times 3 = \frac{6}{\textcolor{#0561ff}{r}^2}$이에요. 위치에 상관없는 숫자가 나왔어요.

과제에서 단위가 다른 칸을 그냥 더했다가 조교님이 "센티미터랑 인치를 더하셨네요"라고 적어 준 것과 같은 실수였어요. $\textcolor{#d62728}{g}^{ij}$가 단위를 맞춰 주는 환산표였던 거죠.

부피는 내가 해 볼게. $\sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - \cdots$에 $x = 2\textcolor{#b95b64}{\epsilon}/\textcolor{#0561ff}{r}$를 넣으면 $2x$가… 아니, $\frac{2\textcolor{#b95b64}{\epsilon}}{\textcolor{#0561ff}{r}} - \sin\frac{2\textcolor{#b95b64}{\epsilon}}{\textcolor{#0561ff}{r}} = \frac{1}{6}\left(\frac{2\textcolor{#b95b64}{\epsilon}}{\textcolor{#0561ff}{r}}\right)^3 - \frac{1}{120}\left(\frac{2\textcolor{#b95b64}{\epsilon}}{\textcolor{#0561ff}{r}}\right)^5 + \cdots$이니까 $V = \frac{4}{3}\pi\textcolor{#b95b64}{\epsilon}^3 - \frac{4\pi\textcolor{#b95b64}{\epsilon}^5}{15 \textcolor{#0561ff}{r}^2} + \cdots$야.

부피 공식 쪽은요?

$\textcolor{#c4724f}{n} = 3$, $\textcolor{#3c7b8b}{\omega_3} = 4\pi/3$, $\textcolor{#4d8a12}{R} = 6/\textcolor{#0561ff}{r}^2$을 넣으면 $\frac{4}{3}\pi\textcolor{#b95b64}{\epsilon}^3\left(1 - \frac{6/\textcolor{#0561ff}{r}^2}{6\cdot 5}\textcolor{#b95b64}{\epsilon}^2\right) = \frac{4}{3}\pi\textcolor{#b95b64}{\epsilon}^3 - \frac{4\pi\textcolor{#b95b64}{\epsilon}^5}{15\textcolor{#0561ff}{r}^2}$. 둘째 항까지 정확히 같아. 차원이 $\textcolor{#c4724f}{n}$이면 $\textcolor{#4d8a12}{R} = \textcolor{#c4724f}{n}(\textcolor{#c4724f}{n}-1)/\textcolor{#0561ff}{r}^2$가 되겠네.

도구에서 문제 5를 불러와 $\textcolor{#4d8a12}{R}$ 칸에 6을 넣으니까, $\textcolor{#b95b64}{\epsilon}$가 작을 때 점선이 실선에 딱 붙어요. 처음 식대로였으면 위치마다 값이 달라서 넣을 숫자 하나를 정하지도 못했겠네요.