곡률을 요약하는 법

아인슈타인 텐서: 물질과 맞세울 곡률의 요약

출발 문제에서 아인슈타인은 물질의 에너지-운동량 텐서 $T_{ij}$(성분 10개)와 맞세울 곡률의 요약을 찾고 있었다. 리치 텐서도 첨자가 두 개인 대칭 텐서라 성분이 10개이니 그대로 등호로 이으면 될 것 같다. 그런데 양변이 같으려면 성분 수만이 아니라 성질도 맞아야 한다.

역사: 아인슈타인의 3년 에움길

1912년 여름 취리히로 돌아온 아인슈타인은 대학 동창인 수학자 마르셀 그로스만을 찾아갔고, 그로스만은 그에게 리만 기하학을 알려 주었다. 그해 겨울부터 이듬해까지 아인슈타인이 적은 연구 노트(오늘날 「취리히 노트」라 부른다)에는 리치 텐서로 중력 방정식을 세우려는 계산이 들어 있다. 그러나 그는 이 길을 버리고, 1913년 그로스만과 함께 좌표를 바꾸면 꼴이 달라지는 방정식을 담은 「개요(Entwurf)」 이론을 발표했다.

아인슈타인은 2년 넘게 이 이론을 붙들다가 1915년 11월 리치 텐서 쪽으로 돌아왔다. 돌아와서 처음 낸 식에도 에너지와 운동량의 보존과 맞지 않는 문제가 남아 있었다. 1915년 11월 25일 프로이센 학술원에 낸 마지막 식에서 그는 리치 텐서에 스칼라 곡률이 든 항을 더해 이 문제를 풀었다. 그 항이 무엇이고 왜 필요한지가 이 절의 내용이다.

발산이 0인 조합

숫자로 먼저 보자. 반지름 1인 3차원 구면 $S^3$에서는 어느 방향이든 리치 값이 2이고, 서로 수직인 세 방향의 리치 값을 더한 스칼라 곡률은 6이다. 방향마다 리치 값에서 스칼라 곡률의 절반 3을 빼면 −1이 된다. 아인슈타인이 더한 항은 이렇게 스칼라 곡률의 절반을 빼는 몫이다. 왜 하필 절반일까?

맞춰야 할 성질은 보존법칙이다. 물질의 에너지와 운동량은 어디서 저절로 생기거나 사라지지 않으므로, 우변 $T_{ij}$는 발산(벡터장의 발산 ∇·처럼 한 점에서 새어 나가는 양. 두 분포 사이의 발산과는 이름만 같다)이 0이다. 좌변도 발산이 0이어야 하는데, 리치 텐서는 스칼라 곡률이 곳마다 다르면 발산이 0이 아니다. 리치 텐서에서 스칼라 곡률로 된 부분을 알맞게 빼면 이 조건이 맞는다. 이 조합을 아인슈타인 텐서라 부른다.

절반인 까닭은 곡률의 미분 사이에 성립하는 제2 비앙키 항등식에서 나온다. 이 항등식을 두 번 축약하면, 리치 텐서의 발산이 스칼라 곡률이 변하는 빠르기의 꼭 절반이라는 관계 $\textcolor{#9467bd}{\nabla}^i \textcolor{#5c5ab0}{R}_{ij} = \frac{1}{2}\partial_j \textcolor{#4d8a12}{R}$가 나온다. 한편 $\textcolor{#4d8a12}{R}\,\textcolor{#d62728}{g}_{ij}$의 발산은 $\partial_j \textcolor{#4d8a12}{R}$ 그대로다(레비-치비타 접속으로 미분하면 계량은 변하지 않는다). 그러니 $\frac{1}{2}\textcolor{#4d8a12}{R}\,\textcolor{#d62728}{g}_{ij}$를 빼야 두 몫이 꼭 지워진다.

그래서 두 번째 식은 어떤 계량에서나 성립하는 기하학의 항등식이다. 아인슈타인 방정식 $\textcolor{#3c7b8b}{G}_{ij} = 8\pi G\, T_{ij}$(오른쪽의 $G$는 아인슈타인 텐서가 아니라 중력상수다)의 좌변은 우변의 보존법칙 $\textcolor{#9467bd}{\nabla}^i T_{ij} = 0$을 저절로 따른다. 이 좌변이 일반상대성이론에서 중력이 보는 곡률이다.

• 아인슈타인 텐서 (보존법칙과 맞는 곡률 요약 / Einstein Tensor, $\textcolor{#3c7b8b}{G}_{ij}$) — 리치 텐서에서 스칼라 곡률의 절반에 계량을 곱한 것을 뺀 대칭 2차 텐서. 어떤 계량에서나 발산이 0이어서 물질의 에너지-운동량 텐서와 등호로 맞세울 수 있다. 4차원에서 성분은 10개다.

문제 7 — 2차원 세계의 중력

같이 풀기 세션 7

반지름 2인 구로 numpy에 넣어 봤어요. $\textcolor{#b8860b}{K} = 1/4$이니까 $\textcolor{#5c5ab0}{R}_{ij} = \textcolor{#d62728}{g}_{ij}/4$, $\textcolor{#4d8a12}{R} = 1/2$이고, $\textcolor{#3c7b8b}{G}_{ij} = \textcolor{#d62728}{g}_{ij}/4 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\textcolor{#d62728}{g}_{ij} = 0$이에요. 모든 성분이 0이라니, 제 코드 어딘가에 버그가 있나 봐요.

반지름을 바꾸거나, 말안장처럼 휜 곡면으로 바꿔 보면요?

$\textcolor{#b8860b}{K}$가 무엇이든 $\textcolor{#b8860b}{K}\textcolor{#d62728}{g}_{ij} - \frac{1}{2}\cdot 2\textcolor{#b8860b}{K}\,\textcolor{#d62728}{g}_{ij} = 0$이야. 버그가 아니라 2차원에서는 언제나 0이야.

그럼 좌변이 늘 0이니까 우변도 0, $T_{ij} = 0$이잖아요. 2차원 우주에는 물질이 있으면 안 된다는 거예요?

그렇게 읽을 수도 있고, 이 방정식이 2차원에서는 곡률에 대해 아무것도 말해 주지 않는다고 읽을 수도 있어요. 성분을 세어 보죠. 2차원 곡면의 리만 곡률에는 독립 성분이 몇 개였죠?

하나요, $\textcolor{#b8860b}{K}$ 하나. 그 하나로 리치가 정해지는데, 거기서 스칼라 곡률의 절반을 빼니까 남는 게 없어요. 아인슈타인이 고른 빼기는 4차원에서는 쓸모 있는 10개를 남기지만 2차원에서는 전부 지워 버리네요.

선형대수에서 단위행렬의 배수에서 대각합으로 된 부분을 빼면 영행렬만 남는 거랑 같아. 2차원 리치 텐서가 딱 계량의 배수였으니까.