자주 하는 실수와 요약

자주 하는 실수

실수	나온 문제	바로잡는 법
칸 수를 새로 알려 주는 숫자의 수로 셈	1	이미 가진 표(환율표, 계량)로 계산되는 칸은 새 숫자가 아니다
2차원 리치 텐서의 성분이 3개이니 리만(1개)보다 정보가 많다고 봄	2	2차원에서는 $R_{ij} = K g_{ij}$ . 곡률 정보는 $K$ 하나뿐이다
두 끝점의 이웃이 많은 간선을 양의 곡률로 봄	3	부호를 정하는 것은 이웃의 수가 아니라 이웃이 겹치는 정도다
반지름 1인 구에서 얻은 보정 $\epsilon^2/12$ 에 지구 위 거리 1000 km를 그대로 넣음	4	거리를 구의 반지름으로 나눈 값(1000/6371)을 넣는다
리치 텐서의 대각 성분을 그냥 더해 스칼라 곡률을 구함	5	먼저 $g^{ij}$ 로 첨자를 올린 뒤 더한다: $R = g^{ij}R_{ij}$
리치 흐름에서 반지름이 일정한 속도로 준다고 봄	6	일정한 속도로 주는 것은 반지름의 제곱이다. 수명은 처음 반지름의 제곱에 비례한다
2차원에서 아인슈타인 텐서가 0으로 나오자 계산 실수로 봄	7	2차원에서는 $R_{ij} = K g_{ij}$ , $R = 2K$ 라 언제나 $G_{ij} = 0$ 이다
평균이 같으면 달라진 것이 없다고 봄	8	평균을 뺀 나머지는 더하면 늘 0이지만 그 자체가 0은 아니다
퍼텐셜을 지구 방향으로만 미분해 조석의 옆 방향 몫을 빠뜨림	9	세 방향을 모두 미분해 헤세 행렬로 본다. 대각합은 0이다
리치가 0이면(요약이 0이면) 공간이 평평하다고 봄	9	리치가 버린 바일 곡률이 남을 수 있다. 진공의 조석력이 그 예
"3차원 이하에서 바일 텐서는 0"을 4차원 시공간에 가져옴	9	차원 조건을 먼저 확인한다. 4차원에서는 바일이 10개 성분을 갖는다

요약

리만 곡률 텐서는 4차원에서 성분이 20개다. 첫째·셋째 첨자를 축약하면 대칭 2차 텐서인 리치 텐서(10개)가 되고, 이것은 방향별로 측지선 묶음의 부피가 어떻게 변하는지를 잰다. 계량으로 한 번 더 축약하면 스칼라 곡률(1개)이 되고, 이것은 작은 측지 공의 부피가 평평한 공간에서보다 얼마나 모자라는지를 잰다. 2차원에서는 $R = 2K$ 로 정보 손실이 없지만, 차원이 높을수록 요약이 버리는 정보가 많다. 리치 텐서로 계량을 흘려보내는 리치 흐름은 푸앵카레 추측의 증명으로 이어졌다. 리치와 스칼라 곡률을 조합한 아인슈타인 텐서는 발산이 0이어서 물질의 보존법칙과 맞세울 수 있고, 리치가 버린 나머지인 바일 텐서는 부피는 그대로 두고 모양만 바꾸는 조석력을 담는다.

연결되는 세계들

아래 표의 낱말 가운데 이 책에서 다루지 않은 것은 더 찾아볼 때의 검색어로 적었다.

분야	연결
일반상대론	아인슈타인 방정식, 블랙홀의 특이점, 우주론
위상수학	리치 흐름과 푸앵카레 추측 (페렐만, 2002~2003)
기계학습	그래프의 곡률 → 그래프 신경망에서 정보가 막히는 간선
최적수송	리치 곡률의 하한과 최적수송의 수축 성질

막힌 곳

요약은 무엇을 버렸는지 알고 쓸 때만 안전하다는 것을 보았다. 그런데 이 장의 곡률은 모두 계량 하나에서 나왔다. 계량으로부터 크리스토펠 기호를 거쳐 곡률까지 가는 길은 하나뿐일까? 같은 계량을 두고도 "평행하게 옮긴다"는 규칙을 다르게 정할 수 있다면, 곡률도 달라질까? 이 질문에는 아직 답하지 못했다.